替代的恆定彈性：特殊情況
拿一個 $ n $ -替代效用函式的商品常數彈性，
$$ U = \left[\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i \right]^\frac{1}{\rho} $$ 我們如何顯示以下內容：
- 顯示為 $ \rho \rightarrow 0 $ 這個效用函式代表了對 Cobb-Douglass 效用的偏好。 $ U(x) = \prod^n_{i=1} x_i^{\alpha_i} $
- 顯示為 $ \rho \rightarrow - \infty $ 這個效用函式具有 Leontief 效用中的無差異曲線。 $ U(x) = \min\left{x_1,…,x_n\right} $
我們知道，如果 $ u $ 代表 $ \succeq $ 在 $ X $ , 那麼對於任何嚴格遞增的函式 $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ， 然後 $ v(x) = f(u(x)) $ 代表 $ \succeq $ 在 $ X $
( $ X $ 在這種情況下是 $ \mathbb{R^n} $ )
考慮 $ v(x, \rho) = \ln(u(x, \rho)) - \frac{\ln\left[\sum^n_{i=1}\alpha_i \right]}{\rho} $ ，這是嚴格增加的。
$$ v(x, \rho) = \frac{\ln\left[\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i \right]}{\rho} - \frac{\ln\left[\sum^n_{i=1}\alpha_i \right]}{\rho} = \frac{\ln\left[\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i \right] - \left [\ln\sum^n_{i=1}\alpha_i \right]}{\rho} $$ 這個限制為 $ \rho \rightarrow 0 $ 是不確定的， $ \frac{0}{0} $ . 所以我們可以使用 L’Hopital 規則並取關於的導數 $ \rho $ 的分子和分母。
$$ \lim_{\rho \rightarrow 0} \frac{\ln\left[\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i \right] - \left [\ln\sum^n_{i=1}\alpha_i \right]}{\rho} = \lim_{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\sum^n_{i=1} \alpha_i x_i^\rho} \cdot \left(\sum^n_{i=1} \alpha_i x_i^\rho \ln x_i\right) $$ 由鍊式法則。
$$ = \lim_{\rho \rightarrow 0} \frac{\sum^n_{i=1} \alpha_i x_i^\rho \ln x_i}{\sum^n_{i=1} \alpha_i x_i^\rho} = \frac{\sum^n_{i=1} \alpha_i \ln x_i}{\sum^n_{i=1} \alpha_i} = \frac{1}{\sum^n_{i=1} \alpha_i} \cdot \ln\left(\prod^n_{i=1} x_i^{\alpha_i}\right) $$ 考慮 $ w(x, \rho) = \mathrm{e}^{(\sum^n_{i=1} \alpha_i) \cdot v(x, \rho)} $ ，這是另一個單調變換，嚴格遞增。所以 $ w $ 仍然代表相同的偏好 $ u $ .
$$ \lim_{\rho \rightarrow 0} w(x, \rho) = \mathrm{e}^{(\sum^n_{i=1} \alpha_i) \cdot \lim_{\rho \rightarrow 0} v(x, \rho)} = \prod^n_{i=1} x_i^{\alpha_i} $$ 這是一個 Cobb-Douglas 函式。
$ \square $
為了說明第二點，足以證明
$$ \lim_{\rho \rightarrow -\infty} u(x) = \left{x_k \ \forall j \neq k \mid x_j \geq x_k \right} $$ $$ u(x) = \left[\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i \right]^\frac{1}{\rho} = x_k \left[(\sum^n_{i=1, i \neq k} \alpha_i x^\rho_i) + \alpha_k \right]^\frac{1}{\rho} $$ $ (\frac{x_j}{x_k})^\rho \rightarrow 0 $ 作為 $ \rho \rightarrow -\infty $ 如果 $ x_j > x_k $
$ (\frac{x_j}{x_k})^\rho \rightarrow 1 $ 作為 $ \rho \rightarrow -\infty $ 如果 $ x_j = x_k $
所以
$$ \lim_{\rho \rightarrow -\infty} x_k \left[(\sum^n_{i=1, i \neq k} \alpha_i x^\rho_i) + \alpha_k \right]^\frac{1}{\rho} = x_k $$ 自從 $ 1/\rho \rightarrow 0 $ 一個常數的零次方是 1。
為任何構造一個類似的論點 $ k $ . 因此 $ \lim_{\rho \rightarrow -\infty} u(x) = \min \left{x_1,…,x_n \right} $
$ \square $