凸 CES 聚合器
我只是發現似乎是一個 CES 聚合器，例如 $ \left[\sum_{j=1}^{J} N_{j}^{(\sigma-1) / \sigma}\right]^{\sigma /(\sigma-1)} $ 和 $ \sigma<0 $ 稱為一般凸聚合器，其極限為 $ \sigma \uparrow 0 $ 是 $ \max \left{N_{1}, \ldots, N_{J}\right} $ ，這正是 Leontief 函式是 CES 聚合器的特例的結果的逆 $ \sigma \downarrow 0 $ .
有什麼簡單的方法可以證明這一點，更重要的是，這兩個傑出結果背後的直覺是什麼？
讓 $ N=\max{N_1,\ldots, N_J} $ 和 $ \sigma<0 $ .
$$ N=\left[N^{(\sigma-1) / \sigma}\right]^{\sigma /(\sigma-1)}\leq\left[\sum_{j=1}^{J} N_{j}^{(\sigma-1) / \sigma}\right]^{\sigma /(\sigma-1)}\leq \left[J N^{(\sigma-1) / \sigma}\right]^{\sigma /(\sigma-1)}=J^{\sigma /(\sigma-1)} N. $$ 自從 $ \lim_{\sigma\uparrow 0} J^{\sigma /(\sigma-1)}=1, $ 結果如下。論點從這裡被採納。
同樣，讓 $ N’=\min{N_1,\ldots, N_J} $ , $ K>0 $ 是這樣的 $ KN’>N_j $ 對全部 $ j $ ， 和 $ 0<\sigma<1 $ .
$$ N’=\left[N’^{(\sigma-1) / \sigma}\right]^{\sigma /(\sigma-1)}\geq\left[\sum_{j=1}^{J} N_{j}^{(\sigma-1) / \sigma}\right]^{\sigma /(\sigma-1)}\geq \left[KJ N’^{(\sigma-1) / \sigma}\right]^{\sigma /(\sigma-1)}=[KJ]^{\sigma /(\sigma-1)} N’. $$
自從 $ \lim_{\sigma\downarrow 0} [KJ]^{\sigma /(\sigma-1)}=1, $ 結果如下。
這兩個結果之間的差異應該不會太令人驚訝，因為您分別使用正指數和負指數，它們顯然是截然相反的。