經濟學中的現值哈密頓量與現值哈密頓量
我一直在研究許多最優控制問題，並且一直想知道在什麼條件下應該使用目前值哈密頓量而不是目前值哈密頓量。
這是否取決於我們尋求得出的具體結果？（選擇你想要的）還是取決於問題的性質？
這並沒有明確的對錯之分，只是為了方便。當目標函式包含折扣因子時，目前值哈密頓量可能更方便。按照蔣（1），假設問題是：
$ \qquad $ 最大化 $ V = \int_0^T G(t,y,u)e^{-\rho t} $
$ \qquad $ 受制於 $ \dot y=f(t,y,u) $
$ \qquad $ 和邊界條件
標準（現值）哈密頓量為：
$ \qquad H=G(t,y,u)e^{-\rho t} + \lambda f(t,y,u) $
如果我們從這個哈密頓量出發，共態方程（一階條件之一）是：
$ \qquad \dot \lambda = -\dfrac{\partial H}{\partial y}= -\dfrac{\partial [G(.)e^{-\rho t}]}{\partial y}-\lambda\dfrac{\partial f}{\partial y} $
雖然可以通過這種方式獲得解決方案，但貼現因子會使衍生品複雜化，並使解釋更具挑戰性。
假設我們使用目前值哈密頓量：
$ \qquad H_c = G(t,y,u) + mf(t,y,u) $
在哪裡 $ m $ 是目前值拉格朗日乘數，定義為 $ m=\lambda e^{\rho t} $ . 那麼共態方程為：
$ \qquad \dot m -\rho m = -\dfrac{\partial H_c}{\partial y} = -\dfrac{\partial G}{\partial y} - m\dfrac{\partial f}{\partial y} $
這更簡單，因為它不包含折扣條款。
參考
- 蔣 AC (1992)動態優化的要素pp 210 ff