目前值 VS 目前值哈密頓量 差分歐拉方程
在將現值哈密頓量與現值哈密頓量進行比較時，我在從以下最優控制問題中恢復相同的歐拉方程時遇到了一些困難。
假設我們有以下連續時間新古典增長模型，其中有代表性的消費者最大化其效用 $$ \int_0^\infty e^{-rt} \frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta}dt $$ 受制於： $$ \dot{k}(t)=f(k(t))-\delta k(t)-c(t) $$ $$ f(k(t))=Ak(t)^\alpha $$
因此，對於這個問題，對應的現值和現值修正拉格朗日量是： $$ \mathcal{J_{\textrm{pv}}}=e^{-rt}\frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta}+\lambda(t)[Ak(t)^\alpha-\delta k(t)-c(t)]+\dot{\lambda}(t)k(t) $$ $$ \mathcal{J_{\textrm{cv}}}=\frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta}+e^{rt}\lambda(t)[Ak(t)^\alpha-\delta k(t)-c(t)]+\frac{d[e^{rt}\lambda(t)]}{dt}k(t) $$ 重命名我們目前的乘數 $ \mu(t)=e^{rt}\lambda(t) $ 我們目前值的哈密頓量變為： $$ \mathcal{J_{\textrm{cv}}}=\frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta}+\mu(t)[Ak(t)^\alpha-\delta k(t)-c(t)]+(\rho \mu(t)+\dot{\mu}(t)) k(t) $$
**我的問題：**我目前的印像是，我們應該能夠從兩種類型的修改拉格朗日/哈密頓設置中恢復相同的歐拉方程，無論它是現值還是現值，但是以我目前理解問題的方式不可能恢復相同的歐拉方程。這裡出了什麼問題？
首先，現值 hamiltonian 等於： $$ {\cal P} = e^{-rt} \frac{c(t)^{1-\theta}}{1 - \theta} + \lambda(t)(Ak(t)^\alpha - \delta k(t) - c(t)) $$
這給出了一階條件：
$$ \begin{align*} &\frac{\partial{\cal I}}{\partial c} = e^{-rt} c(t)^{-\theta} - \lambda(t) = 0 \tag{1.1}\ &\dot \lambda(t) = - \lambda(t) (\alpha A (k_t)^{\alpha-1} - \delta), \tag{1.2}\ &\dot k(t) = Ak(t)^\alpha - \delta k(t) - c(t). \tag{1.3} \end{align*} $$ 取一階關於時間的導數並使用 $ (1.1) $ 和 $ (1.2) $ 給出： $$ \begin{align*} &-r e^{-rt} c(t)^{-\theta} -\theta e^{-rt} c(t)^{-\theta} \frac{\dot c(t)}{c(t)} = \dot \lambda(t),\ \to &-r - \theta \frac{\dot c(t)}{c(t)} = \frac{\dot \lambda(t)}{\lambda(t)},\ \to & \frac{\dot c(t)}{c(t)} = \frac{\alpha A(k_t)^{\alpha-1} - (\delta + r)}{\theta} \end{align*} $$
對於目前值哈密頓量，我們有： $$ {\cal C} = \frac{c(t)^{1- \theta}}{1 - \theta} + \mu(t)(Ak(t)^\alpha - \delta k(t) - c(t)) $$ 一階條件為： $$ \begin{align*} &\frac{\partial C}{\partial c} = c(t)^{-\theta} - \mu(t) = 0, \tag{2.1}\ &\dot \mu(t) - r\mu(t) = -\mu(t)(A\alpha k(t)^{\alpha-1}-\delta), \tag{2.2}\ &\dot k(t) = Ak(t)^\alpha - \delta k(t) - c(t), \tag{2.3}\ \end{align*} $$
替代 $ \mu(t) = e^{rt} \lambda(t) $ 給 $ (2.1) $ 方程： $$ \begin{align*} &c(t)^{-\theta} - e^{rt} \lambda(t) = 0,\ \to &e^{-rt} c(t)^{-\theta} - \lambda(t) = 0,\ \end{align*} $$ 這與 $ (1.1 $ ).
替代 $ \mu(t) = e^{rt} \lambda(t) $ 和 $ \dot \mu(t) = r e^{rt} \lambda(t) + e^{rt} \dot \lambda(t) $ 為了 $ (2.2) $ 給出： $$ \begin{align*} &r e^{rt}\lambda(t) + e^{rt}\dot \lambda(t) - r e^{rt} \lambda(t) = -e^{rt} \lambda(t) (A \alpha k(t)^{\alpha-1} - \delta),\ \to &\dot \lambda(t) = \lambda(t)(A \alpha k(t)^{\alpha-1} - \delta),\ \end{align*} $$ 這與 $ (1.2) $ .
我們也可以解決 $ (2.1) $ 和 $ (2.2) $ 通過取導數 $ (2.1) $ 關於獲得時間： $$ \begin{align*} &-\theta c(t)^{-\theta} \frac{\dot c(t)}{c(t)} = \dot \mu(t),\ \to & \frac{\dot c(t)}{c(t)} = -\frac{1}{\theta} \frac{\dot \mu(t)}{\mu(t)} = \frac{A \alpha k(t)^{\alpha-1}- (\delta+r)}{\theta} \end{align*} $$