定義策略集、混合策略和單純形集

假設我們有一個兩人遊戲，其中 $ (S^i)_{i=1}^2 $ 表示每個策略的一組純策略。玩家混合策略集 $ i $ 表示為 $ \Sigma^i=\Delta(S^i) $ 儘管 $ \Sigma=\Sigma_1\times\Sigma_2=\Delta(S_1)\times \Delta(S_2) $ . 我的問題如下：

1. 假設 $ S_1={x,y} $ 和 $ S_2={u,v} $ ，那麼集合 $ \Sigma^1=\Delta(S^1)={{x},{y},(p(x),(1-p)(y))} $ 和 $ \Sigma^2=\Delta(S^2)={{u},{v},(q(u),(1-q)(v))} $ ， 在哪裡 $ p $ 和 $ q $ 表示純策略集上的機率分佈。如果直到這裡我沒有記錯的話，那麼集合是什麼 $ \Sigma $ 看起來像？
2. 用符號 $ \Delta $ 在集合前面我們表示集合的單純形？如果沒有，您如何找到它以及它與純策略集和混合策略集有什麼關係？
3. 以下是否成立 $ \Delta(\underbrace{S_1\times S_2}{\Delta(\Pi{i=1}^2 S^i)})\underbrace{=}{=}\underbrace{\Delta(S_1)\times\Delta(S_2)}{\Pi_{i=1}^2 \Delta(S^i)} $ 這個結果可以概括為 $ k(<+\infty) $ 玩家遊戲？

先感謝您！雖然計算或我的答案可能看起來很簡單，但我對所有這些符號有點困惑。

1. 那麼套裝是什麼 $ \Sigma $ 看起來像？

$ \Sigma^1 $ 是所有機率分佈的集合 $ {x,y} $ ，因此它由一維單位單純形給出： $$ \Sigma^1 = {(p_1, p_2) \in \mathbb{R}^2_+| p_1 + p_2 = 1}. $$ 這裡 $ p_1 $ 是玩的機率 $ x $ 和 $ p_2 $ 玩的機率 $ y $ . 如果你看 $ \Sigma^1 $ 作為一個子集 $ \mathbb{R}^2 $ 它是正正交中所有向量的集合，其分量總和為 1，如下圖所示：

它被稱為一維單純形，因為線的維數為 1。

如果有三種策略，那麼我們將得到二維單位單純形： $$ \Sigma^1 = {(p_1, p_2, p_3) \in \mathbb{R}^3_+|p_1 + p_2 + p_3 = 1}. $$ 在 $ \mathbb{R}^3 $ 這看起來像由向量跨越的三角形的表面 $ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) $ . 我們得到一個二維單純形，因為表面是一個二維對象。

2. 用符號 $ \Delta $ 在集合前面我們表示集合的單純形？如果沒有，您如何找到它以及它與純策略集和混合策略集有什麼關係？

是的 $ \Delta(S) $ 通常用於表示集合上所有機率分佈的集合 $ S $ . 如果 $ S $ 是有限的，那麼 $ \Delta S $ 只是維數為 1 的單位單純形，比 $ S $ . 特別是如果 $ |S| = n $ 然後 $$ \Delta(S) = \left{(p_1, \ldots, p_n) \in \mathbb{R}^n_+\middle| \sum_{i = 1}^n p_i = 1\right}. $$ 如果 $ S $ 是玩家的一組純策略然後 $ \Delta(S) $ 是同一玩家的混合策略的集合。

3. 以下是否成立 $ \Delta(S1 \times S2) = \Delta(S_1)\times \Delta(S_1) $ 這個結果可以推廣到 $ k(< +\infty) $ 玩家遊戲？

不，這兩組不一樣。例如，讓 $ S_1 = {x,y} $ 和 $ S_2 = {u,v} $ 那麼元素 $ S_1 \times S_2 $ 是： $$ S_1 \times S_2 = {(x,u), (x, v), (y,u), (y,v)}. $$ 像這樣， $ \Delta(S_1 \times S_2) $ 是具有元素的 3 維單位單純形 $ (p_{(x,u)}, p_{(x,v)}, p_{(y,u)}, p_{(y,v)}) $

另一方面， $ \Delta(S_1) \times \Delta(S_2) $ 由所有組合組成 $ ((p_x, p_y), (p_u, p_v)) $ 在哪裡 $ (p_x, p_y) \in \Delta(S_1) $ 和 $ (p_u, p_v) \in \delta(S_2) $ . 儘管您也可以將這些視為 4 維向量，但它們不在 3 維單位單純形中 $ p_x + p_y = 1 $ 和 $ p_v + p_w = 1 $ ，所以它們的總和等於 2（而不是 1）。

某種意義上的集合 $ \Delta(S_1 \times S_2) $ 包含比集合更多的“分佈” $ \Delta(S_1) \times \Delta(S_2) $ . 我的意思是有向量 $ (p_{(x,u)}, p_{(x,v)}, p_{(y,u)}, p_{(y,v)}) \in \Delta(S_1 \times S_2) $ 無法找到的 $ (p_x, p_y) \in \Delta(S_1) $ 和 $ (p_u, p_v) \in \Delta(S_2) $ 這樣： $$ p_x \cdot p_u = p_{(x,u)},\ p_x \cdot p_v = p_{(x,v)},\ p_y \cdot p_u = p_{(y,u)},\ p_y \cdot p_v = p_{(y,v)}. $$

例如， $ p_{(x,u)} = 0.5, p_{(x,v)} = 0, p_{(y,u)} = 0, p_{(y,v)} = 0.5 $ 以這種方式分解是不可能的。換句話說，可以通過混合策略配置文件獲得的所有分佈集合是純策略配置文件上所有機率分佈集合的嚴格子集。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/47521