具有不良特徵的垂直分化中的需求推導
今天的問題是關於 Tirole 垂直分化框架的變體。我一直在思考需求和利潤函式推導，消費者可以在其中選擇水平 $ x $ 在他們的最後階段。假設以下實用程序： $$ U = x - x^2 -\theta xd_i - P_i $$
為了簡化這裡讓我們假設沒有價格（ $ P_i = 0 $ ) 和公司收入是一個函式（比如乘法） $ \pi(x_k, d_i)=\sum_kx_kd_i $ 在哪裡 $ k $ 表示消費者和 $ i $ 該公司。
在這種情況下，我們會有$$ 1-2x_k^-\theta_k d_i = 0 \iff x_k^ = \frac{1-\theta_k d_i}{2} $$
然後我發現冷漠的消費者$$ x(1 - x -\theta’ d_i) =0 $$
插入最優水平 $ x $ 這變成： $$ \theta’ =1/d_k $$
（這也是解決方案 $ x_k^* = 0 $ )
如果我繼續假設標準制服是 $ \theta \in [0,1] $ 需求將被給予 $ \frac{\partial U}{\partial \theta}<0 $ : $$ D= 1/d_k $$
這種遞歸方法有問題嗎？解決這種問題的策略是什麼，在垂直差異化框架中是非標準的？我在說什麼蠢話？
此處有關原始模型的相關問題
以實用的消費者為例 $$ U = x - x^2 - \theta x d, $$ 在哪裡 $ x $ 是提供給公司的資訊量，並且 $ d $ 是公司設定的披露。
最優水平 $ x $ 由一階條件給出： $$ 1 - 2 x - \theta d = 0 \to x = \frac{1 - \theta d}{2} $$ 如果她的效用大於零，消費者將從公司購買。插入最優值 $ x $ 進入效用函式給出： $$ x(1 - \theta d - x) = \frac{(1 - \theta d)^2}{4}, $$ 它總是大於或等於零。所以每個人都會從公司購買。如果 $ \theta \sim U[0,1] $ 那麼披露的總金額為： $$ \int_0^1 \frac{1 - \theta d}{2} d\theta = \frac{1}{2}[\theta]^1_0 - \frac{d}{2}\left[\frac{\theta^2}{2}\right]^1_0 = \frac{1}{2} - \frac{d}{4} $$ 由此，我們看到公司的利潤由下式給出： $$ d\int_0^1 x_\theta d \theta = \left(\frac{1}{2} - \frac{d}{4}\right) d. $$ 最大化這一點 $ d $ 給， $$ \frac{1}{2} - \frac{d}{2} = 0 \to d = 1. $$ 如果有價格 $ P> 0 $ 事情會改變的。在這種情況下，如果滿足以下條件，消費者將從公司購買： $$ \frac{(1 - \theta d)^2}{4} \ge P,\ \to (1 - \theta d) \ge 2 \sqrt{P},\ \to \theta \le \frac{1 - 2 \sqrt{P}}{d} $$ 如果右手邊在 0 和 1 之間，那麼將從公司購買的消費者數量由下式給出： $$ \frac{1 - 2 \sqrt{P}}{d} $$ 這些消費者披露的總金額由下式給出： $$ \begin{align*} &\int_0^{\frac{1 - 2 \sqrt{P}}{d}} \frac{1 - \theta d}{2} d\theta = \frac{1}{2}\frac{1 - 2 \sqrt{P}}{d} - \frac{d}{4}\left(\frac{1 - 2 \sqrt{P}}{d}\right)^2,\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{1 - 2\sqrt{P}}{d}\right)\left(\frac{1 + 2 \sqrt{P}}{2}\right),\ &= \frac{1}{4d}(1 - 4P) \end{align*} $$ 然後，公司的總利潤由從公司購買的消費者總人數乘以價格加上披露收益得出： $$ \frac{1}{4d}(1 - 4P)d + \frac{1 - 2 \sqrt{P}}{d}P,\ = \frac{1}{4}(1 - 4P) + \frac{P}{d} - 2\frac{P^{3/2}}{d} $$ 一階條件關於 $ P $ 是（誰）給的： $$ \begin{align*} &-1 + \frac{1}{d} - 3 \frac{\sqrt{P}}{d} = 0,\ \to &\sqrt{P} = \frac{1}{3}(1 - d),\ \to &P = \frac{1}{9}(1 - d)^2 \end{align*} $$ 那麼利潤等於： $$ \frac{1}{4}\left(1 - \frac{4}{9}(1 - d)^2\right) + \frac{1}{9}\frac{(1-d)^2}{d} - 2 \frac{1}{27d}(1 - d)^3 $$ 這應該最大化 $ d $ ，考慮到我們需要 $ \frac{1 - 2\sqrt{P}}{d} $ 介於零和一之間。
無論是哪種情況 $ \frac{1 - 2\sqrt{P}}{d} $ 大於 1 或小於 0 也可以考慮。然後公司採用利潤最大的情況。