支出函式。證明這個集合是有界的
為了導出支出函式，我需要證明以下集合是有界的：
$ e(p,v)=min_x px $ 英石 $ {x \in R^n_+ $ 這樣 $ U(x)\geq v} $ .
知道 $ U(x):R^n \longrightarrow R $ 是一個連續函式。
我已經證明了集合是封閉的，我認為如果集合是封閉的 $ U(x) $ 連續的，集合必須是有界的。但是我不確定。
請幫忙。提前致謝。
該集合不需要有界。要看到這個，只需採取 $ U $ 保持不變。那麼這個集合要麼是空的，要麼等於 $ \mathbb{R}_+^n $ .
也可能不存在最小值。讓 $ n=2 $ , $ p=(0,1) $ , $ v=1 $ ， 和 $ U $ 由 $ U(x)=U(x_1,x_2)=x_1\cdot x_2 $ . 清楚地， $ px=0 $ 只有當 $ x_1=0 $ ，這將導致效用 $ 0 $ . 但是對於每一個 $ \epsilon>0 $ , 捆綁 $ (1/\epsilon,\epsilon) $ 有實用性 $ 1 $ 和價格 $ \epsilon $ . 所以不存在最小化捆綁的支出。當然，如果不存在，也不存在支出最小化束 $ x $ 完全這樣 $ U(x)\geq v $ . 如果發生這種情況 $ U $ 有界以上。
然而，如果價格嚴格為正且至少存在一個消費束，則存在支出最小化束 $ x^* $ 這樣 $ U(x^)\geq v $ . 要看到這一點，請注意最小化設置上的支出 $$ {x\in\mathbb{R}+^n\mid U(x)\geq v} $$ 等於最小化集合上的支出 $$ {x\in\mathbb{R}+^n\mid U(x)\geq v, px\leq px^}. $$ 後一組是封閉的和有界的。