經濟學中的極值定理
希望能在應用環境中證明存在解決方案（最大值）的一些想法。
假設目標函式是效用最大化之一：
$$ \max\Sigma\beta U(C_t) $$
受限於資源的一些限制，比如說：
$$ \C_t+K_{t+1} = F_F(K_F,E_F,S_t) $$
其中約束是經濟體的資源約束，包括目前消費 $ C_t $ 和投資機會 $ K_{t+1} $ , 等於生產函式 $ F_F $ ，其中包括關於資本的論點 $ K_t $ ， 活力， $ E_t $ 和排放存量 $ S_t $ （即排放影響生產成本）。
極值定理指出“整個非空緊集的連續函式將具有最大值（分別為最小值）”。
在這方面，我的問題是：可行的解決方案集在緊湊集上的要求是什麼？
- 變數的非負性？
- 變數的終端條件（即它們在未來都用盡了）？
肯定會感激一些想法。
可以使用 Weierstrass 的極值定理證明這種最優計劃的存在，但這需要一些高級數學。
這是一個沒有能源和排放的模型的玩具版本。瞬時效用函式 $ u:\mathbb{R}+\to\mathbb{R} $ 和生產函式 $ f:\mathbb{R}+\to\mathbb{R} $ 假設是連續的且不遞減的。而且， $ u $ 假設是有界的 (!)。有給定的初始股本 $ k_1\geq 0 $ . 可行的消費和生產計劃空間定義為$$ F=\big{(c_1,k_1,c_2,k_2,\ldots)\mid 0\leq k_{t+1}\leq f(k_t-c_t)}, k_t\geq c_t\geq 0\big}. $$ $ F $ 描述了所有可行的消費和資本路徑。這個集合是一個非空緊子集 $ \mathbb{R}^\infty $ 賦有產品拓撲。原因如下：根據Tychonoff 定理，集合$$ \prod_{t=1}^\infty [0,f^t(k_1)]^2 $$和 $ f^0 $ 恆等函式 $ f^{t+1}=f\circ f^t $ 緊湊且 $ F $ 是這個緊集的一個子集。根據定義，所有座標函式都是連續的。每個相關的不等式都定義了一個閉集，並且 $ F $ 因此，它是緊集的閉子集，因此也是緊集本身。此外，從不投資和消耗一切的計劃在 $ F $ ， 所以 $ F $ 是非空的。
效用函式 $ U:F\to\mathbb{R} $ 由 $$ U(c_1,k_1,c_2,k_2,\ldots)=\sum_{t=1}^\infty \beta^t u(c_t) $$ 在產品拓撲中定義明確且連續。由於效用函式是有界的， $ U $ 將始終是有限的，因此是明確定義的。要看到它是連續的，請注意，因為 $ u $ 是有界的，每一個都存在 $ \epsilon>0 $ 一些 $ T $ 使得任何兩條路徑的效用只在有時晚於 $ T $ 最多可以相差 $ \epsilon/2 $ . 由於所有座標函式都是連續的，如果兩個消費計劃在第一個足夠接近 $ T $ 座標，它們最多相差 $ \epsilon/2 $ . 因此，如果路徑在有限多個座標處足夠接近，則相應的效用將足夠接近。所以 $ U $ 在產品拓撲中是連續的。
所以 $ U $ 是非空緊集上的連續函式 $ F $ . 根據 Weierstrass 的極值定理， $ U $ 在某個時間點達到最大值 $ F $ 這樣一個點就是一個最優計劃。
您可以在 Le Van 和 Dana 所著的《經濟學中的動態規劃》一書中找到關於最優計劃存在的更一般的證明。假設 $ F $ 不需要增加，您可以替換包含的區間的乘積 $ F $ 通過將其與可以產生的最大價值而不是始終將資本再投資所產生的價值聯繫起來。那 $ u $ 有界被假定為保證 $ U $ 是有限的。可以用保證瞬時效用不會沿著可行路徑快速增長的假設來代替這一點。
目前，我需要更多資訊來回答這個問題。（缺少細節對經濟學家來說可能很明顯，我的背景是應用數學。）
極值定理（例如魯丁數學分析原理的定理 4.16 ）說，如果 $ f $ 是緊湊度量空間上的連續實函式，則對於緊湊子集 $ M $ ，然後是最高和最低的 $ f $ 在某個點（S）內實現 $ M $ .
要記住的例子。
- 緊集不是無限的。功能 $ f(x) = 1 - \frac{1}{x} $ 沒有在片場達到其至高無上的地位 $ x \geq 1 $ .
- 它不是一個當且僅當的條件。例如 $ f(x) = x^2 $ , 它在 $ (-1,1) $ ，即使集合不是緊湊的。
該問題並未指定數學系統的所有約束。如果有人想應用這個定理，我能提供的只是以下幾點。
- 時間範圍必須是有限的，否則可行的解決方案集不會是緊湊的（如果它是非空的）。
- 在每個時間點，都需要證明該時間點的可行值是緊緻的。如果我們有線性約束（預算約束），那麼變數的非負條件可能就足夠了。
- 約束 $ F_F $ 必須要麼持有相等，要麼是非嚴格的不等式。嚴格的不等式可能會被取消資格（如果它沒有約束力也可以。）
- 可能只需要證明可行集位於有界集，並且是非空的（例如找到一個解決方案）。
- 效用函式的連續性應該是直截了當的。