從離散時間到連續時間：總微分

我正在嘗試從離散時間設置中導出 HJB。在某些時候，我只剩下

$$ \lim_{\Delta\to 0} \frac{v(c_{t+\Delta}, u_{t+\Delta}, t+\Delta) - v(c_{t}, u_{t}, t)}{\Delta} $$ 並且不知道該怎麼做。如果 $ \Delta $ 僅在一個論點中，這將是偏微分。我的直覺是，這是總導數 $ t $ ，但我不知道如何顯示。

我該如何處理上面的表達式？

您可以通過編寫將您的功能分成三個術語

$$ \begin{align} & v(c_{t+\Delta},u_{t+\Delta},t+\Delta)-v(c_t,u_t,t) = \ & v(c_{t+\Delta},u_{t+\Delta},t+\Delta)-v(c_t,u_{t+\Delta},t+\Delta) \

• & v(c_{t},u_{t+\Delta},t+\Delta)-v(c_t,u_t,t+\Delta) \
• & v(c_t,u_t,t+\Delta)-v(c_t,u_t,t) \end{align} $$ 當你除以 $ \Delta $ 並採取限制 $ \Delta \rightarrow 0 $ ，第一個表達式收斂到 $ \dfrac{\partial v}{\partial c} \dfrac{dc}{dt} $ ，第二個表達式為 $ \dfrac{\partial v}{\partial u} \dfrac{du}{dt} $ ，第三個表達式為 $ \dfrac{\partial v}{\partial t} $ . 因此，您的總導數等於 $$ \begin{equation} \dfrac{\partial v}{\partial c} \dfrac{dc}{dt} + \dfrac{\partial v}{\partial u} \dfrac{du}{dt} + \dfrac{\partial v}{\partial t} \end{equation} $$

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/8353