幫助理解連續折扣的表達方式

在他們的論文“專利廣度、專利壽命和技術進步的步伐”的腳註 3 中，O’Donoghue Scotchmer 和 Thisse 採用的貼現率為 $ r $ 和寫

如果利潤流 $ \Delta $ 持續時間 $ t $ ，貼現利潤為 $ \Delta(1 − e^{−rt})/r $ .

有人可以解釋表達式在哪裡 $ \Delta(1 − e^{−rt})/r $ 來自？

雖然我熟悉連續時間折扣，但我以前從未見過以這種方式製定它。我通常希望貼現利潤的表達式是 $ \Delta e^{-rt} $ .

從時間 $ 0 $ 到時間 $ t $ 利潤流是恆定的 $ \Delta $ . 任何實例的利潤流的折現值 $ s $ 是 $ \Delta \cdot e^{-r s} $ . 為了得到總的貼現利潤，我們需要從 $ 0 $ 到 $ t $ :

$$ \int_0^t \Delta \cdot e^{-r s} \ ds = \left. \frac{\Delta \cdot e^{-r s}}{-r} \right]_0^t = \frac{\Delta \cdot e^{-r t}}{-r} - \frac{\Delta \cdot e^{-r \cdot 0}}{-r} $$ 並作為 $ e^{-r \cdot 0} = e^0 = 1 $ ， 這是 $$

• \frac{\Delta \cdot e^{-r t}}{r} + \frac{\Delta \cdot 1}{r} = \Delta \cdot \frac{1 -e^{-r t}}{r}. $$

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/6752