如何從 CES 函式中獲得 Leontief 和 Cobb-Douglas 生產函式？
在大多數微觀經濟學教科書中都提到了恆定替代彈性（CES）生產函式，
$$ Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}} $$ （其中替代彈性為 $ \sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1 $ )，其極限是 Leontief 生產函式和 Cobb-Douglas 生產函式。具體來說，
$$ \lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left {K , L\right} $$ 和
$$ \lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a} $$ 但他們從未為這些結果提供數學證明。
有人可以提供這些證明嗎？
此外，由於外部指數為 $ -1/\rho $ . 如果是的話，說 $ -k/\rho $ ，則同質化程度為 $ k $ .
限制結果如何受到影響，如果 $ k\neq 1 $ ?
我將提出的證明是基於與 CES 生產函式具有廣義加權平均形式這一事實相關的技術。
這在介紹 CES 功能的原始論文中使用，Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS, & Solow, RM (1961)。資本勞動力替代和經濟效率。經濟與統計評論，225-250。
那裡的作者向他們的讀者推薦了Hardy, GH, Littlewood, JE, & Pólya, G. (1952) 一書。不等式_ $ 2 $ .
我們考慮一般情況
$$ Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},;; k>0 $$ $$ \Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}} $$ 1) 限制時 $ \rho \rightarrow \infty $
因為我們對極限感興趣 $ \rho\rightarrow \infty $ 我們可以忽略 $ \rho \leq0 $ ，並處理 $ \rho $ 作為嚴格積極的。
不失一般性，假設 $ K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho}) $ . 我們還有 $ K, L >0 $ . 然後我們驗證以下不等式成立：
$$ (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k}) $$ $$ \implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1} $$ 通過提高到 $ \rho/k $ 得到的權力
$$ (1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2} $$ 顯然，考慮到這些假設，這確實成立。然後回到第一個元素 $ (1) $ 和 $$ \lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k}) $$ 將中期課程夾在中間 $ (1) $ 到 $ (1/L^{k}) $ ， 所以
$$ \lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min{K,L}\big]^{k} \tag{3} $$ 因此對於 $ k=1 $ 我們得到基本的 Leontief 生產函式。
2) 限制時 $ \rho \rightarrow 0 $
使用指數編寫函式為
$$ \gamma^{-1}Q_k=\exp\left{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right} \tag {4} $$ 考慮對數內項的一階麥克勞林展開（以零為中心的泰勒展開），關於 $ \rho $ :
$$ a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \ $$ $$ =1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2) $$ 將其重新插入 $ (4) $ 並擺脫外部指數，
$$ \gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho} $$ 如果它是不透明的，定義 $ r\equiv 1/\rho $ 並重寫
$$ \gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr} $$ 現在它看起來確實像一個表達式，其無窮大的極限會給我們一些指數：
$$ \lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right} \right)^{-k} $$ $$ \Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k $$ 同質化程度 $ k $ 的功能被保留，如果 $ k=1 $ 我們得到 Cobb-Douglas 函式。
正是這最後一個結果讓 Arrow 和 Co 跟注 $ a $ CES函式的“分佈”參數。