如何確認約束集 wL + rK < Q 是凸的
假設一家公司使用勞動力 (L) 生產 Q 個單位，其工資 w>0 且資本價格 (K) 為 r>0。它不能使用負數的因子：L $ \geq 0 $ , ķ $ \geq 0 $ .
公司的約束可以寫為 $ wL + rK $ $ \leq Q $
如何證明這樣的集合是凸的？我們知道，如果一個約束是凸的，一些向量，z = $ \lambda x + (1-\lambda)y $ 位於集合內。
假設我選擇 $$ z_1 = \lambda L_1 + (1-\lambda) L_2 $$
$$ z_2 = \lambda K_1 + (1-\lambda) K_2 $$
在哪裡 $ \lambda \exists [0,1] $
z = L + K
$$ wz_1 + rz_2 =w[\lambda L_1 + (1-\lambda) L_2] + r[\lambda K_1 + (1-\lambda) K_2] $$ $$ =\lambda[wL_1 + rK_1] +(1-\lambda)[wL_2 + rK_2] $$ $$ \leq \lambda Q + (1-\lambda)Q $$ $$ = Q $$
謝謝你。
考慮任意一對向量 $ (L_{1},K_{1}) $ 和 $ (L_{2},K_{2}) $ 滿足 $ wL_{i} + rK_{i} \leq Q $ 為了 $ i = 1, 2 $ . 為了證明約束集是凸的，我們需要證明該（任意）向量對的任何凸組合都位於約束集中。也就是說，對於所有 $ \gamma \in [0,1] $ 我們有
$$ \begin{split} w\left(\gamma L_{1} + (1-\gamma)L_{2}\right) + r\left(\gamma K_{1} + (1-\gamma)K_{2}\right) &= \gamma \left(w L_{1} + r K_{1}\right) + \left(1-\gamma \right)\left(w L_{2} + r K_{2}\right)\ &\leq \gamma Q + (1-\gamma)Q = Q \end{split} $$ 因此向量， $ (L_{3},K_{3}) $ , 也在約束集中（其中 $ L_{3} := \gamma L_{1} + (1-\gamma)L_{2} $ ， 和 $ K_{3} := \gamma K_{1} + (1-\gamma)K_{2} $ ) 所以這個集合是凸的。
您的答案（或至少在您的答案中重新排列不等式）在很大程度上是正確的。但是，重要的是要注意，您已經為集合中的任意向量和任意凸組合而不是特定組合展示了這種不等式。
鑑於您寫下的三個不等式，約束集是像限 I 與二維平面中的半空間的交集。這兩個集合都是凸的。凸集的交集是凸的，所以約束集是凸的。