如何計算一台機器的理想保養時間？
我有一個關於成本計算問題的問題：
我有下面的曲線，它表明，隨著任務數量的增加而無需維護機器，所生產零件的錯誤機率也會增加。
x 軸代表不維護機器的任務計數器。這意味著點 (10;0.2) 說：當機器在最後 10 個週期沒有維護時，錯誤率為 20%。
維護機器成本，假設 1000 歐元和一個錯誤 15 歐元。現在我需要找出完美的維護計數器，何時維護機器。
我考慮過將曲線乘以 15 歐元，然後對函式進行積分，以考慮到在特定計數下先前週期已經增加的機率。但是，我不確定這個集成步驟。
也許其他人知道如何處理這個問題。
假設錯誤的機率 $ n $ 自最近一次維護以來的第一個週期是 $ a+bn $ ，並設維護之間的任務（週期）數為 $ x $ . 我在這裡假設任務可以被視為離散的。
我進行優化的方法是在相當多的周期內計算總維護成本和預期的總錯誤成本 - 比如 1,000。這裡選擇的數字是任意的，但我發現在這種情況下考慮總成本比考慮每個週期的平均值更直覺，儘管每個週期都應該導致相同的結果。
總維護成本為：
$$ \frac{1000}{x}\times 1000=\frac{1000000}{x} $$
兩次連續維護事件之間的預期錯誤成本，使用三角形數公式將 $ b $ 的，是：
$$ \sum_{n=1}^x 15(a+bn)=15\Big(ax+b\Big(\frac{x(x+1)}{2}\Big)\Big) $$
因此，總預期錯誤成本為：
$$ \frac{1000}{x}\times 15\Big(ax+b\Big(\frac{x(x+1)}{2}\Big)\Big)=15000\Big(a+\Big(b\frac{x+1}{2}\Big)\Big) $$
總成本 $ TC $ （包括維護和預期錯誤成本）因此是：
$$ TC = \frac{1000000}{x} + 15000\Big(a+\Big(b\frac{x+1}{2}\Big)\Big) $$
將一階導數設置為零以找到最小值：
$$ \frac{dTC}{dx}=\frac{-1000000}{x^2}+15000\Big(\frac{b}{2}\Big)=0 $$
$$ -2000000+15000bx^2=0 $$
$$ -400+3bx^2=0 $$
$$ x=\sqrt{\frac{400}{3b}} $$
要確認這是最低要求：
$$ \frac{d^2TC}{dx^2}=\frac{2000000}{x^3}>0 $$
放置（大致如圖所示） $ a=0.18, b=0.001 $ ，這會產生：
$$ x=\sqrt{\frac{400}{0.003}}\approx365 $$
請注意，在這種情況下 $ a+bx=0.18+(0.001\times365)=0.545 < 1 $ . 如果值意味著在到達下一個維護事件之前錯誤機率超過 1，則需要修改公式。
附錄 2020 年 3 月 11 日
響應您對重新集成的評論，如果任務被認為是離散的，那麼集成不會為總預期錯誤成本提供完全正確的公式。需要的積分是：
$$ \int_0^x 15(a+bn)dn=15\Big(ax+\frac{bx^2}{2}\Big) $$
這有 $ x^2 $ 上面的計算有 $ x(x+1) $ . 但是，這種差異在區分 TC 時消失了，因為：
$$ \frac{d(bx)}{dx}=\frac{d(b(x+1))}{dx}=b $$
因此，這種方法導致相同的最優值 $ x $ .