如何處理奇異列昂蒂耶夫倒矩陣？
我目前正在研究和試驗投入產出法。這是 1930 年代基於國民核算的方法，可以衡量商品和服務的跨行業流動。
目前，我正在對法國經濟進行試驗。更準確地說，我希望衡量國家資助的可再生能源資助計劃的直接和間接影響（國家以固定價格向生產者購買可再生能源，因為它目前在電力市場上沒有競爭力，就核電而言生產）
我想衡量該行業的直接增長和相關行業的間接增長，這些增長是由該資助計劃對上述行業的投資所創造的。
我知道安裝 1Gw 的可再生電力產能需要 4 個部門的產量，並且我知道自 2006 年以來每年安裝多少 Gw。
現在我的問題直接針對國家統計與經濟研究所提供的投入產出表。這是一個非常嚴肅的國有機構，我毫不懷疑他們提供的資訊（表格）是準確的。
但是我遇到了一個問題，因為我的計算器（R 軟體）返回的資訊表明我必須用來執行計算的表是單數的。而且由於我必須使用的公式如下：
x =
$$ I-A $$^-1 。F …根據定義，如果這
$$ I-A $$矩陣是奇異的，它沒有逆。這正是我的問題：我的計算器返回一條消息錯誤，阻止我通過微積分：“對象完全是奇異的：矩陣的行列式（leontiev 倒置矩陣）在最後一行為零，這意味著無法進行反演計算。知道原因嗎？ 注意：為了獲得該矩陣，我首先通過將來自 INSEE 的原始輸入輸出表除以每個分支的總產量來創建一個技術係數矩陣。這樣，技術係數 A 矩陣的每個單元格都顯示了生產一歐元總產出需要多少歐元輸入。
希望有人能指導我找到答案，最好的問候。
我不確定你用什麼除以什麼，但假設你的輸入輸出表如下所示：
$$ A = \left[ \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right] $$ 如果您繼續將第一列除以 $ \sum\limits_i a_{i,1} $ 第二個由 $ \sum\limits_i a_{i,2} $ 第三個是 $ \sum\limits_i a_{i,3} $ 那麼你的新矩陣將有 1 作為特徵值。（你可以通過簡單的計算證明任何向量的範數在與矩陣相乘時不變。）這是有問題的，因為如果 $ s $ 是一個特徵向量然後 $$ A \cdot s = s = I \cdot s $$ 這意味著 $$ (I - A) \cdot s = 0 $$ 這反過來意味著 $ I - A $ 不可逆（單數）。所以我的猜測是問題出在分裂上。 我認為（錯誤地，請參閱下面的評論）投入產出模型通常處理實物商品，而不是實物商品的價值，因此計量單位為 $ a_{11} $ 說升（牛奶）不會是歐元。在這種情況下，您不必將單個投入的價值除以價值的總和，而是將單個投入中使用的商品數量除以商品的總產出。這可能會讓你的問題消失。
我沒有將每一列除以列的總和。這將毫無意義，因為目標是生成一個技術係數矩陣，該矩陣將行業（列）所需的每個輸入（行）連接起來以產生其輸出。
根據 Input-Output analysis Foundation and extension : Miller / Blair, Cambridge University press 中介紹的方法，我將輸入-輸出表的每個元素除以分支的總輸出。
這樣一來，2006年湯品行業有了
價值 50 歐元的湯生產（產出）
10 歐元的番茄投入
10 歐元的胡蘿蔔投入
5 歐元的水投入
技術係數 (A) 將是：
10/50 = 0,2 = 番茄投入的技術係數
10/50 = 0,2 = 胡蘿蔔投入的技術係數
5/50 = 0,1 = 進水的技術係數
可以這樣理解：如果你想生產一歐元的湯，你需要購買 0.2 歐元的番茄、0.2 歐元的胡蘿蔔和 0.1 歐元的水。