分配/匹配模型中的集成

說一個匹配模型，其中工人技能 $ g $ 與機器尺寸相匹配 $ k $ . 假設生產函式採用 CD 形式 $ g^{\alpha} k^{\beta} $ 並且工人和機器大小呈對數正態分佈，具有對數變異數 $ \sigma_{g}^{2} $ 和 $ \sigma_{k}^{2} $ . 因為生產函式是互補的，所以分配將是一個正分類匹配 $ k(g) $ .

從FOC我們有 $ w^{\prime}\left(g_{0}\right)=\left[\frac{\partial f\left(g_{0}, k^{}\right)}{\partial g_{0}}\right]_{k^{}=k\left(g_{0}\right)} = \alpha g^{\alpha-1}k(g)^\beta $ .

整合這個FOC，我們可以得到工資函式 $ w(g)=A g^{\left(\alpha \sigma_{g}+\beta \sigma_{k}\right) / \sigma_{g}}+C_{w} $ ， 在哪裡 $ A $ 是一個常數並且 $ C_{w} $ 是積分的常數。我想知道如何進行這種集成。

答案非常簡單。

因為與連續變數的正分類匹配的定義是 $ 1-G(g)=1-K(k(g)) \forall g $ ， 在哪裡 $ G $ 和 $ K $ 是 $ g $ 和 $ \mathrm{k} $ .

然後從對數正態分佈的cdf的定義我們可以解析求解這個匹配函式 $ k(g)=g^{\frac{\sigma_{k}}{\sigma g}} $ . 然後集成是微不足道的。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/50282