是(R米)n(R米)n(mathbb{R}^m)^n維度的真實座標空間m⋅n米⋅nmcdot n?
這裡很簡單的問題：假設有n 個個體，每個個體 $ i\leq n $ 有一個消費束 $ x_i\in \mathbb{R}^m $ （即有 $ m $ 商品種類）。假設社會福利是一個函式 $ f(x_1, x_2, …, x_n) $ . 的領域 $ f $ 顯然是 $ (\mathbb{R}^m)^n $ . 我的問題是否設置 $ (\mathbb{R}^m)^n $ 是相同的 $ \mathbb{R}^{m\cdot n} $ ?
換句話說，是 $ (\mathbb{R}^m)^n $ 維度的真實座標空間 $ m\cdot n $ ?
不，是的。對於任何集合 $ X $ 我們有（根據定義）$$ X^k=\underbrace{X\times\cdots\times X}_{k\text{-times}}={(x_1,x_2,\ldots,x_k)\mid x_i\in X\text{ for }i=1,\ldots,k}. $$
現在讓，例如， $ m=2 $ 和 $ n=3 $ . 然後 $$ (\mathbb{R}^m\big)^n=(\mathbb{R}^m\big)^n $$ $$ =\big(\mathbb{R}^2\big)^3=\Big{\big((x_1,x_2),(x_3,x_4),(x_5,x_6)\big)\mid (x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2,(x_3,x_4)\in\mathbb{R}^2, (x_5,x_6)\in\mathbb{R}^2\Big} $$ $$ =\Big{\big((x_1,x_2),(x_3,x_4),(x_5,x_6)\big)\mid x_i\in\mathbb{R}\text{ for }i=1,\ldots,6\Big}. $$ 這不同於$$ \mathbb{R}^{m\cdot n}=\mathbb{R}^{2\cdot 3}=\mathbb{R}^6 $$ $$ =\Big{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\big)\mid x_i\in\mathbb{R}\text{ for }i=1,\ldots,6\Big}. $$ 所以他們在形式上是不一樣的 $ (\mathbb{R}^m\big)^n\neq \mathbb{R}^{m\cdot n} $ 然而，顯然有一種自然的方式將一個空間中的點與另一個空間中的點關聯起來，這種連接它們的方式保留了很多結構。它們等價於向量空間、拓撲空間等。出於這個原因，人們可能經常會辨識出這兩個空間，除非做了非常奇怪的事情，否則幾乎不會出錯。