有沒有辦法將 Berge 的最大值定理與包絡定理聯繫起來？
貝爾格定理狀態
讓 $ X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n $ , $ f : X \times \Theta \to \mathbb R $ 是一個聯合連續函式， $ C : \Theta \rightrightarrows X $ 是一個連續的（上半連續和下半連續的）緊值對應。最大化的價值函式和最大化器是
$$ V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta) $$ $$ C^\ast(\theta):={x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)} $$ 然後 $ V : \Theta \to \mathbb R $ 是連續的並且 $ C^\ast :\Theta \rightrightarrows X $ 是上半連續的。
根據 Varian’s Microeconomic Analysis (1992)，第 490 頁，包絡定理很簡單：
$$ \frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)} $$
$ x(a) $ 是的最大化者 $ f(\cdot, a) $ .
在我看來，包絡定理需要伯格定理，但推導看起來要簡單得多。兩者之間有關係嗎？
它們是相關的並且通常屬於同一個討論，但正如@Alecos 在評論中提到的那樣，這兩個定理顯示了不同的東西。
我想你所追求的聯繫是，如果導數
$$ \left .\frac{\partial f(x, a)}{\partial a} \right |_{x=x(a)} $$ 存在，那麼因為可微性意味著連續性，你也許可以從中得到最大值定理的一部分。但是，要比較和對比兩個定理，您不能只看結果。您還需要查看假設。例如，最大值定理不假設任何可微性。包絡定理確實如此（至少它的某些形式）。在任何情況下，每個假設都是不同的（一些更強，一些更弱）。 另外，還有這個。包絡定理沒有告訴你任何關於控制函式的資訊。因此，您絕對無法得到以下結果 $ C^* $ 是上半連續的。
從評論中引用 OP
什麼樣的效用函式和約束條件才能使我們只有在用 Berge 定理建立了價值函式的連續性之後才能應用包絡定理？ people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf
在引用的 Lucas (1978) 論文中，命題 1 確定
在哪裡 $ v(z,y;p) $ 是價值函式，並且 $ (i) $ 是它的定義。因此，這裡似乎將 Price 函式的連續性作為一個條件單獨列出，但在論文的前面，Lucas 將 Utility 函式定義為一個非負函式，即
連續可微、有界、遞增和嚴格凹
論文的命題 2 建立了價值函式的可微性，不需要進一步的假設。
