包絡定理有經濟學解釋嗎？
我想知道包絡定理是否也有一些隱藏的經濟解釋。例如，經濟學中的拉格朗日乘數可以解釋“影子價格”，這是一個有用的經濟概念。
包絡定理似乎應該有一些更深入的經濟解釋，因為它是關於在我們處於最佳狀態的情況下，當參數變化時函式如何調整。包絡定理說，即使作為內生選擇變數解的一部分，外生變數可能間接進入最大值函式，但只需要考慮外生變數變化的直接影響。但我不確定這是否有意義。包絡定理是否有任何經濟學概念？
首先，讓我們考慮無約束最大化的包絡定理的標準“經濟解釋” ：
如果 $ x^(b) $ 解決 $ \max_x f(b,x) $ ， 然後 $ \frac{d f(b,x^(b))}{d b_k} = \frac{\partial f(b,x^*(b))}{\partial b_k}, $ 即，總導數 $ f $ 寫 $ b_k $ 等於偏導數 $ f $ 寫 $ b_k $ .
經濟解釋（在給定問題中）：讓 $ \pi^(p,w) = p f(x^∗) − w·x^ $ 是給定產出價格的利潤最大化 $ p $ 和輸入價格向量 $ w $ . 然後 $ i $ ‘第輸入需求函式為 $ x^_i(·) = −\frac{\partial \pi^(·,·)}{\partial w_i} $ ，被稱為霍特林引理，以哈羅德霍特林 (Harold Hotelling) (1895–1973) 命名。這個導數是負的：如果投入的價格增加，那麼公司的最大利潤就會減少。
其次，讓我們考慮約束最大化的包絡定理的標準“經濟解釋” ：
如果 $ x^(b), \lambda^ $ 解決 $ \max_x f(b,x) $ 英石 $ h^j(b,x) = 0 $ , $ j= 1, …m, $ 然後
$$ \frac{d f(b,x^(b))}{d b_k} = \frac{\partial f(b,x^(b))}{\partial b_k} + \sum_{j=1}^m \lambda_j^(b)\frac{\partial h^j(b,x^(b))}{\partial b_k}, $$
即，總導數 $ f $ 寫 $ b_k $ 等於偏導數 $ f $ 寫 $ b_k $ ，加上 $ \lambda^* $ - 的偏導數的加權和 $ h^j $ 的文字 $ b_k $ .
經濟解釋（在給定問題中）：讓 $ \hat c(\bar q, p, w) = w·\hat x $ 是給定價格的最小成本水平 $ (p,w) $ 和輸出電平 $ \bar q $ . 然後 $ i $ ‘第條件輸入需求函式為 $ \hat x_i(·) = −\frac{\partial \hat c(·,·,.)}{\partial w_i} $ ，被稱為Shepard 引理，以 Ronald Shephard (1912-1982) 命名。支出函式關於商品價格的偏導數等於相關商品的希克斯需求函式。