卡魯什-庫恩-塔克系列
關於凸程序最優性的充分條件的 Karush-Kuhn-Tucker 定理是否適用於可數維？
有關精度，請參見本課程的定義 4.1.1 和定理 4.1.4 。該定理是否擴展到無限（但離散）數量的變數和相關約束？如果有，你有參考嗎？
是的，Bachir 等人。（2021）在溫和假設下擴展了 Karush-Kuhn-Tucker 定理，用於無限數量的變數（他們的推論 4.1）。
在下文中，我給出了對序列空間的 Karush-Kuh-Tucker 泛化的較弱版本：
讓 $ X\subset\mathbb{R}^{\mathbb{N}} $ 是一個非空凸子集 $ \mathbb{R}^{\mathbb{N}} $ 然後讓 $ x^{}\in Int\left(X\right) $ . 讓 $ f,g_{1},g_{2},…,g_{m}:X\rightarrow\mathbb{R} $ 是連續的凸函式 $ x^{} $ 並且逐項可微 $ x^{} $ ，即使得函式 $ f_{n,x^{}}\left(x_{n}\right):=f\left((x_1^{},…,x_{n-1}^,x_n,x_{n+1}^,…)\right) $ 和 $ g_{j,n,x^{}}\left(x_{n}\right):=g_{j}\left((x_1^{},…,x_{n-1}^,x_n,x_{n+1}^*,…)\right) $ 可微分於 $ x_{n} $ 對全部 $ n\in\mathbb{N} $ 和 $ j\in\left{ 1,2,…,m\right} $ .
（資格條件）假設對於所有 $ k\in\mathbb{N}^{} $ 並為所有人 $ x\in X $ , $$ x^{}+P^{k}\left(x-x^{}\right)=\left(x_{1},…,x_{k},x_{k+1}^{},x_{k+2}^{},…\right)\in X $$ 如果存在 $ \left(\lambda_{j}^{}\right){j}\in\left(\mathbb{R}{+}\right)^{\mathbb{N}} $ 這樣
$$ \lambda_{j}^{}g_{j}\left(x^{}\right) =0,:\forall j\in\left{ 1,2,…,m\right} \quad \quad \quad \quad \quad (1) $$ $$ f_{n,x^{}}^{\prime}\left(x_{n}^{}\right)+\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j}^{}g_{j,n,x^{}}^{\prime}\left(x_{n}^{*}\right)=0,:\forall n\in\mathbb{N} \quad \quad (2) $$
（充分）然後 $ x^{*} $ 是關於的最優解 $ \Gamma:=\left{ \left(x_{i}\right){i}\in X,:,g{1}\left(x\right)\leq0,…,g_{m}\left(x\right)\leq0\right} : $
$$ f\left(x^{*}\right)=\underset{x\in\Gamma}{\inf}f\left(x\right) $$
（必要性）此外，如果 $ x^{} $ 是關於的最優解 $ \Gamma $ 如果斯萊特條件 $ Int\left(\Gamma\right)\neq\emptyset $ 已驗證，則存在唯一性 $ \left(\lambda_{j}^{}\right){j}\in\left(\mathbb{R}{+}\right)^{\mathbb{N}} $ 驗證 (Karush-Kuhn-Tucker) 條件 (1) 和 (2)。
約束的數量必須是有限的，但是像非負約束這樣的簡單約束可以用變數域上的等效約束來代替。例如，代替約束 $ \forall n \in \mathbb{N},;x_n \geq 0 $ 在域上 $ \mathbb{R}^{\mathbb{N}} $ , 一個可以拿 $ X=(\mathbb{R}_+)^{\mathbb{N}} $ , 定理適用。
請注意，當進一步假設凸拉格朗日函式時，（充分性）結果很容易證明 $ \mathcal L(x, \lambda)=f(x)+\sum_{j=1}^m\lambda_j g_j(x) $ 是 Gateaux 可微分的，Gateaux 導數等於 0 在 $ u=(x^, \lambda^) $ .
確實，一個函式 $ h: V \rightarrow \mathbb{R} $ 凸和 Gateaux 可微分 $ V $ 驗證 $ h(v)-h(u) \geq h^\prime(u; v-u), \forall u,v \in V $ ， 在哪裡 $ h^\prime(u; v) $ 是方嚮導數 $ h $ 在 $ u $ 在這個方向上 $ v $ . （從凸性的定義可以看出： $ h(u)+\theta \left( h(v) -h(u) \right) \geq h\left(u+\theta (v-u)\right) $ ; 減法 $ h(u) $ , 除以 $ \theta $ ，並取極限時 $ \theta \rightarrow 0^+ $ ; 有關詳細資訊，請參閱此內容）。將該不等式應用於拉格朗日方程 $ u $ 證明拉格朗日允許最小值為 $ u $ ，它解決了最小化程序： $ f(x^) =L(x^, \lambda^*) \leq f(x)+\sum_{j=1}^m\lambda_j g_j(x) \leq f(x), ; \forall x\in \Gamma $ .
但是，一般來說，要證明凸級數（例如無限拉格拉吉數）的 Gateaux 導數（存在並且）在某個點等於 0 並不容易 $ u $ ，除非使用結果（Bachir et al. (2021)中的定理 3.14 ），即 Gateaux 導數因此等於系列中每一項的導數之和。