列總和大於 1 的 Leontief 輸入輸出模型
線上性代數教科書中，我遇到了以下問題（未包含在答案鍵中）：
考慮一個具有消費矩陣的開放經濟
$$ \begin{equation} C = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.25 & 0.25 \ 0.5 & 0.125 & 0.25 \ 0.5 & 0.25 & 0.125 \ \end{pmatrix} \end{equation} $$ 如果開放部門要求每個產品生產部門提供相同的美元價值，那麼哪個部門必須生產最大的美元價值才能滿足需求？經濟有生產力嗎？
這本教科書將生產性定義為：“ $ (I − C)^{−1} $ 有非負條目被認為是有生產力的。”。
下面是教科書中的一個定理。
如果 $ C $ 是開放經濟的消費矩陣，如果所有列的總和都小於 $ 1 $ , 那麼矩陣 $ I − C $ 是可逆的，條目 $ (I − C)^{−1} $ 是非負的，經濟是生產性的。
我立即註意到列總和 $ C $ 的第一列大於 $ 1 $ ，根據教科書的說法，這意味著給定部門需要的投入多於產出，因此它是無利可圖的。然而，事實證明這個給定的矩陣是可逆的，並且它的逆矩陣具有非負項。
我在引用的定理中從數學上理解，列總和小於 $ 1 $ 不是當且僅當條件和例外情況是可能的。
然而，從經濟學的角度來看，這個問題似乎很奇怪，換句話說，問一個沒有盈利部門的經濟體是否具有生產力。
如果這個問題沒有錯：你會如何從經濟學角度解釋這個問題？或者，如果是，這個問題有什麼問題？
根據Peterson & Olinick (1982)的當且僅當陳述；
一個次隨機矩陣 A 是有效的當且僅當 $ I-A $ 是非奇異的。
在亞隨機矩陣中，行或列的條目總和不會大於 1，因此它是條件的一部分，但除了矩陣 $ I-C $ 也應該是非奇異的。非奇異性對於矩陣的可逆性很重要。
因此，我不認為存在行業無利可圖但矩陣仍然有效的例外情況。而是有一些例外，僅僅因為條目總和小於 1 並且矩陣是非負的，但它是奇異的，所以我們不能反轉它，在這種情況下它不滿足生產條件。