曼昆版本的卡根模型——需要幫助來解釋它
為了使數學盡可能簡單，我們假設貨幣需求函式在所有變數的自然對數中是線性的。貨幣需求函式為
$$ m_t - p_t = -\gamma(p_{t+1}-p_{t}) $$
其中 mt 是時間 t 貨幣數量的對數，pt 是時間 t 價格水平的對數，γ 是控制貨幣需求對通貨膨脹率敏感度的參數。根據對數的性質，mt−pt 是實際貨幣餘額的對數，pt+1−pt 是 t 期和 t+1 期之間的通貨膨脹率。這個等式表明，如果通貨膨脹上升 1 個百分點，實際貨幣餘額就會下降 γ 個百分點。
- 來自曼昆的宏觀經濟學教科書（附錄，第 4 章）。
我正在努力理解這個表達式如何導致粗體的解釋。將這個答案的一些結果應用於同一個問題（需要宏觀經濟學中卡根模型的數學幫助）：
$$ \ln\left(\frac{m_t}{p_t}\right)=-\gamma \ln\left(\frac{p_{t+1}}{p_t}\right) $$（重寫表達式以包含日誌）
$$ RHS = -\gamma \ln\left(1+\frac{\Delta p_{t+1}}{p_t}\right) \approx -\gamma \frac{p_{t+1}-p_t}{p_t} $$ $$ \text{(using } \ln(1+x) \approx x) $$
現在將其返回到第一個表達式：
$$ \ln\left(\frac{m_t}{p_t}\right) \approx \gamma \frac{p_{t+1}-p_t}{p_t} \approx \ln\left(1-\gamma \frac{p_{t+1}-p_t}{p_t}\right) $$ $$ \text{using } \gamma x \approx \ln(1+ \gamma x) $$
$$ \frac{m_t}{p_t} \approx 1 - \gamma \frac{p_{t+1}-p_t}{p_t} $$
我是正確的和/或正確的路線嗎？不知道如何從這裡開始。
我認為你不必要地想多了。對於任何形式的關係：
$$ \ln y = \beta \ln x $$
貝塔係數的解釋是 $ 1% $ 增加 $ x $ 導致 $ \beta $ $ % $ 增加 $ y $ . 這種關係成立的數學原因已經在交叉驗證的堆棧交換中進行了探討，您可以在此處或在本網站或幾乎任何計量經濟學教科書中看到它，因為對數對數形式很重要，所以我不會不必要地重述它。
Mankiw 將實際貨幣餘額定義為 $ M/P $ 或在日誌中 $ m-p $ ，因此等式的左側根據定義是用對數表示的實際貨幣餘額項 $ \ln (M_t/P_t) $ . 根據定義，在您的情況下，通貨膨脹再次以對數表示的價格水平變化 $ \ln(P_{t+1}/P_t) $ . 因此，您可以像 Mankiw 一樣直接應用上一段的解釋。
此外，您實際上也可以通過計算得出它。更具體。增長率 $ g $ 對於變數 $ x $ 給出為 $ g_x= \frac{x_{t+1}-x_t}{x_t} $ . 然後我們知道：
$$ \ln x_{t+1} = \ln ((1+g_x)x_t) \implies \ln x_{t+1} = \ln (1+g_x)+ \ln x_t $$
那麼自從 $ \ln (1+g_x) \approx g_x $ 我們有：
$$ \ln x_{t+1} = g_x + \ln x_t \implies \ln x_{t+1} -\ln x_t =g_x $$
因此，您實際上可以直接說：
$$ \ln(M_t/P_t)=-\gamma \ln(P_{t+1}/P_t) \approx \ln(M_t/P_t)=-\gamma \left( \frac{P_{t+1}-P_t}{P_t} \right) $$
最終表達式中的 1 不應該在那裡。在這種情況下，LHS 為您提供實際貨幣餘額的百分比和價格水平（通貨膨脹）的 LHS 百分比變化。