機制設計：證明預期效用是可微的
給定一個直接機制，我們定義買方的期望效用 $ u(\theta) $ 以她的類型為條件 $ \theta $ 經過 $ u(\theta)=\theta q(\theta)-t(\theta) $ ， 在哪裡 $ q:[\underline{\theta},\bar{\theta}]\to[0,1] $ 和 $ t:[\underline{\theta},\bar{\theta}]\to\mathbb{R} $ .
我們還定義，如果說真話對每個人都是最優的，那麼直接機制是激勵相容的。 $ \theta\in[\underline{\theta},\bar{\theta}] $ ， IE，$$ u(\theta)\geq \theta q(\theta’)-t(\theta’),\quad\forall\theta,\theta’\in[\underline{\theta},\bar{\theta}]. $$
LEMMA：對於激勵兼容的直接機制，我們想證明對所有人 $ \theta $ 那 $ u $ 是可微的，我們有 $ u’(\theta)=q(\theta) $ .
證明：考慮任何 $ \theta $ 為此 $ u $ 是可微的。讓 $ \delta>0 $ . 然後通過激勵相容性，我們有以下幾點：
我不明白從激勵相容性來看，它是如何遵循第一個和第二個不等式 2.6 和 2.8 的。我們如何使用相同的 $ \theta $ 在證明中，而定義明確指出 $ u(\theta)\geq \theta q(\theta’)-t(\theta’),\forall\theta,\theta’ $ ?
根據定義，我們有 $$ \begin{align*} u(\theta) & = \theta q(\theta)-t(\theta) \ \ u(\theta + \delta) & = (\theta + \delta) q(\theta + \delta)-t(\theta + \delta) \end{align*} $$ 通過激勵相容性（其中 $ \theta + \delta $ 是真正的類型， $ \theta $ 是假類型）我們有 $$ u(\theta + \delta) \geq (\theta + \delta) q(\theta)-t(\theta) $$ 使用這些（為了更清晰的符號，我使用方括號，它們沒有數學函式） $$ \begin{align*} u(\theta + \delta) - u(\theta) & = \left[(\theta + \delta) q(\theta + \delta)-t(\theta + \delta)\right] - \left[\theta q(\theta)-t(\theta)\right] \ \ u(\theta + \delta) - u(\theta) & \geq \left[(\theta + \delta) q(\theta)-t(\theta)\right] - \left[\theta q(\theta)-t(\theta)\right] \end{align*} $$ 如果你除以，這也成立 $ \delta > 0 $ .
2.8. 的類似參數，使用 true 類型 $ \theta - \delta $ 代替 $ \theta + \delta $ .