負定與半定 Hessian - 充分與必要條件？

當 Hessian 矩陣在臨界點為負定時，該臨界點為局部最大值（充分條件）。

根據微積分維基： 連結，當 Hessian 為負半定時，我們只能得出結論，它不是局部最小值。這似乎表明負半定性是必要條件，而不是充分條件。

誰能提供一個多變數函式的例子，其中我們有一個負半定 Hessian 但沒有局部最大值？根據我的想法，如果我們在臨界點將粗麻布評估為負半定，它也必須是局部最大值，但顯然微積分維基不同意。

最簡單的例子是 $ -x^3 $ 在單變數情況下，或 $ -x_1^3-x_2^3 $ 在兩個變數的情況下。Hessian 矩陣是半負定的 $ (0,0) $ ，但此時沒有最大值。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/48003