通常可分的效用表示
讓 $ X_i $ 是一個可分離的、緊緻的、Banach 空間。
**定義：**弱秩序 $ \succeq $ 在 $ X=\prod_{i=1}^NX_i $ 如果存在，則具有通常可分離的表示 $ u_i: X\rightarrow \mathbb{R} $ 和 $ W:\prod_{i=1}^Nu_i(X_i)\rightarrow \mathbb{R} $ 在每個座標中嚴格增加，使得$$ \begin{equation} U(x_1,…,x_N)=W(u_1(x_1),…,u_N(x_N)) \end{equation} $$ 代表 $ \succeq $ .
**定義：**給定一個弱順序 $ \succeq $ , 一個索引 $ i\in I $ 如果對所有人都是可分離的 $ x,y,z,z’\in X $ , $ x_iz\succeq y_iz\iff x_iz’\succeq y_iz’ $ ， 在哪裡 $ x_iz $ 方法 $ x_i $ 在向量的 i 座標中 $ x\in X $ 和 z 否則。弱順序滿足單例可分性，如果所有 $ i\in I $ 是可分離的。
在Tomasz Strzalecki 的決策理論第 3 章中，有以下定理沒有證明：
**定理：**假設 $ \succeq $ 是一個弱命令 $ X=\prod_{i=1}^NX_i $ . 訂購 $ \succeq $ 當且僅當它具有具有連續函式的有序可分錶示時，才滿足單例可分性和連續性 $ u_i $ 和 $ W $ .
他聲稱證明是相當困難的。有誰知道如何證明這一點或有參考？
**備註：**假設 $ X_i $ 是可分離的，緊湊的，Banach 在這裡不是必需的，但讓我們只做空間 $ X_i $ 暫時盡可能好。
這是一個證明的草圖。我們需要的是每個連續的弱順序 $ X_i $ 承認一個連續的效用表示。一個充分條件是每個 $ X_i $ 是根據 Eilenberg 定理的連通可分拓撲空間。Debreu 的《價值論》一書中給出了 Eilenberg 定理的證明。Debreu 假設那裡的域是歐幾里得，但證明很容易推廣到目前設置。也可以假設每個 $ X_i $ 是第二可數拓撲空間（對於可分性隱含的可度量空間）。Debreu 表明在該設置中也存在連續效用表示，但證明難度相當大。
定義 $ \succeq_i $ 在 $ X_i $ 經過 $ x_i\succeq_i y_i $ 如果 $ x_iz\succeq y_iz $ 對於一些 $ z $ . 顯然，這定義了一個連續的弱順序，並且 $ z $ 使用單例可分離性無關緊要。存在一個連續效用函式 $ u_i:X_i\to\mathbb{R} $ .
接下來，我們可以證明 $ x_i~\sim_iy_i $ 為了 $ i=1,\ldots,N $ 暗示 $ x\sim y $ . 通過重複應用單例可分性，我們得到 $ (x_1,y_2,y_3,\ldots,y_N)\succeq (y_1,y_2,y_3,\ldots,y_N) $ , $ (x_1,x_2,y_3,\ldots,y_N)\succeq (x_1,y_2,y_3,\ldots,y_N) $ ，依此類推，直到我們有 $ (x_1,x_2,\ldots,x_{N-1},x_N)\succeq(x_1,x_2,\ldots,x_{N-1},y_N) $ . 通過傳遞性， $ x\succeq y $ . 相似地， $ y\succeq x $ , 並且因此 $ x\sim y $ .
讓 $ U=\prod_{i=1}^N u_i(X_i) $ ，（可能是無界的）區間的乘積。定義 $ \succeq^* $ 在 $ U $ 經過 $ u\succeq^* u’ $ 如果對於某些人 $ x,y\in X $ 一個有 $ u=\big(u_1(x_1),\dots,u_N(x_N)\big) $ , $ u’=\big(u_1(y_1),\dots,u_N(y_N)\big) $ ， 和 $ x\succeq y $ . 根據我們剛剛展示的， $ \succeq^* $ 包含，連同 $ u_1,\ldots, u_N $ , 相同的資訊 $ \succeq $ . 也很明顯 $ \succeq^* $ 是嚴格單調的 $ U $ . 如果一個效用表示 $ W:U\to\mathbb{R} $ 的 $ \succeq^* $ 存在，它必須嚴格增加。如果我們能證明存在一個連續的這樣的表示，我們就完成了。使用任何提到的效用表示定理，就足以證明 $ \succeq^* $ 是連續的。
所以讓 $ u\succ^* u’. $ 存在 $ x,y\in X $ 這樣 $ u=\big(u_1(x_1),\dots,u_N(x_N)\big) $ , $ u’=\big(u_1(y_1),\dots,u_N(y_N)\big) $ ， 和 $ x\succ y $ . 自從 $ \succeq $ 是連續的，根據積拓撲的定義，存在開放鄰域 $ V_i\ni x_i $ 和 $ W_i\ni y_i $ 這樣 $ x’\in\prod_{i=1}^N V_i $ 和 $ y’\in\prod_{i=1}^N W_i $ 暗示 $ x’\succ y’ $ . 讓 $ V $ 成為的內部 $ \prod_{i=1}^N u_i(V_i) $ 和 $ W $ 的內部 $ \prod_{i=1}^N u_i(W_i) $ . 那麼對於 $ u’’\in V $ 和 $ u’’’\in W $ 一個有 $ u’’\succ^* u’’’ $ ， 所以 $ \succeq^* $ 確實是連續的。