證明對於每個納什均衡σ∗σ∗sigma^, 機率分佈pσ∗pσ∗p_{sigma^}是一個相關均衡
這是博弈論中的經典定理，在我的教科書中作為練習。有人可以證明嗎？首先，除了相關平衡的定義之外，我什麼也做不了。這是定理和定義。
$ \mathbf{Theorem:} $ 對於每個納什均衡 $ \sigma^* $ , 機率分佈 $ p_{\sigma^*} $ 是一個相關均衡。
$ \mathbf{Definition:} $ 機率分佈 $ p $ 在動作向量集上 $ S $ 如果策略向量稱為相關均衡 $ \tau^* $ 是博弈的納什均衡 $ \Gamma^*(p) $ . 換句話說，對於每個玩家 $ i ∈ N $ :
$$ \begin{equation}\Sigma_{s_{-i}\in S_{-i}}p(s_i,s_{-i})u_i(s_i,s_{-i})\geq \Sigma_{s_{-i}\in S_{-i}}p(s_i,s_{-i})u_i(s^{’}i,s{-i}),\quad\text{$\forall s_i,s^{’}_i\in S_i$}\end{equation} $$
每個策略向量 $ \sigma $ 得出一個機率分佈 $ p_{\sigma^} $ 在一組動作向量上 $ S $ . $$ \begin{equation}p_{\sigma^}(s_1,…,s_n)=\sigma_1(s_1)\times\sigma_2(s_2)\times…\times\sigma_n(s_n)\end{equation} $$
$ \textit{Hint:} $ 當我們涉及納什均衡時 $ \sigma^* $ 作為相關均衡，我們指的是機率分佈 $ p_{\sigma^*} $ 由上述等式給出：
戰略概況 $ \sigma^=(\sigma_i^,\sigma_{-i}^) $ 是一個納什均衡，如果對於所有玩家 $ i $ , $$ \begin{equation} u_i(s_i,\sigma_{-i}^)\ge u_i(s_i’,\sigma_{-i}^), \quad \forall s_i\in\mathrm{supp}(\sigma_i^), \forall s_i’\in S_i. \end{equation} $$ 根據純策略的機率明確地重寫此條件： $$ \begin{align} \sum_{s_{-i}\in S_{-i}}\sigma_{-i}^(s_{-i})u_i(s_i,s_{-i}) &\ge \sum_{s_{-i}\in S_{-i}}\sigma_{-i}^(s_{-i})u_i(s_i’,s_{-i}), \quad \forall s_i\in\mathrm{supp}(\sigma_i^), \forall s_i’\in S_i. \tag{1} \end{align} $$ 讓 $ p_{\sigma^}(s_i,s_{-i})=\sigma_i^(s_i)\sigma_{-i}^(s_{-i}) $ 是均衡策略所隱含的聯合分佈。然後條件 $ (1) $ 可以改寫為 $$ \begin{equation} \sum_{s_{-i}\in S_{-i}}\underbrace{\sigma_i^(s_i)\sigma_{-i}^(s_{-i})}{p{\sigma^}(s_i,s_{-i})}u_i(s_i,s_{-i}) \ge \sum_{s_{-i}\in S_{-i}}\underbrace{\sigma_i^(s_i)\sigma_{-i}^(s_{-i})}{p{\sigma^}(s_i,s_{-i})}u_i(s_i’,s_{-i}), \quad\forall s_i,s_i’\in S_i. \end{equation} $$ 這是相關均衡的定義。