證明投資組合的變異數不能超過單個資產的變異數
在閱讀 Markowitz 的投資組合理論時，我偶然發現了一個事實，即在有兩種風險資產的市場中，如果不允許賣空，則由兩種資產組成的投資組合的變異數不能超過風險資產單獨的變異數。那是：
$$ {\sigma _p}^2 \le \max { {\sigma _A}^2,{\sigma _B}^2} $$ 其中 A 和 B 是兩種不同的資產。 您能否證明這一說法，並可能提供一些直覺來解釋為什麼會這樣？
讓 $ w $ 表示重量 $ A $ 以便 $ 1-w $ 是重量 $ B $ . 回想一下變異數的性質
$ \sigma_p^2 = w^2\sigma_A^2 + 2w(1-w)\sigma_A\sigma_B \rho_{AB}+ (1-w)^2\sigma_B^2 $
不失一般性，假設 $ \sigma_A \geq \sigma_B $ . 我們希望表明
$ w^2\sigma_A^2 + 2w(1-w)\sigma_A\sigma_B \rho_{AB}+ (1-w)^2\sigma_B^2\leq \sigma_A^2 $
注意
$ \sigma_A^2 = \sigma_A^2 (w + (1-w)) ^2 = \sigma_A^2 w^2 + 2w(1-w)\sigma_A^2 + \sigma_A^2(1-w)^2 $
自從 $ \sigma_A \geq \sigma_B $ 和 $ w $ , $ (1-w) $ ， 和 $ \sigma_A $ 是積極的，這意味著
$ \sigma_A^2 \geq \sigma_A^2 w^2 + 2w(1-w)\sigma_A\sigma_B + \sigma_B^2(1-w)^2 $
並且由於相關性具有以下性質 $ -1 \leq \rho_{AB} \leq 1 $ 和 $ w $ , $ (1-w) $ , $ \sigma_B $ 和 $ \sigma_A $ 都是正面的，一定是這樣的
$ \sigma_A^2 w^2 + 2w(1-w)\sigma_A\sigma_B + \sigma_B^2(1-w)^2 \geq \sigma_A^2 w^2 + 2w(1-w)\sigma_A\sigma_B\rho_{AB} + \sigma_B^2(1-w)^2 $
所以
$ \sigma_A^2 \geq \sigma_A^2 w^2 + 2w(1-w)\sigma_A\sigma_B\rho_{AB} + \sigma_B^2(1-w)^2 $ $ \square $
換句話說，查看隨機變數凸組合的變異數公式，如果資產之間的相關性為 1，則變異數最大化。在這種情況下，可能的投資組合值是 $ w $ 是之間的直線段 $ A $ 和 $ B $ ，這顯然不能有高於任何一個的變異數。現在，如果相關性小於 1，則兩者的任何組合都將低於直線情況。
直覺地說，資產回報率 $ A $ 和 $ B $ 只要它們不是彼此的固定倍數，它們就會部分相互抵消。這種抵消行為減少了所得投資組合的變異數。最壞的情況是兩種資產彼此相等，因此投資組合的變異數永遠不會高於具有最高變異數的組件 asst。