伯努利效用的風險資產
我的問題是關於**6.C.4。**Mas-Colell 等人的《微觀經濟理論》一書。
我們有 N 個有回報的風險資產 $ z_n, n = (1,…,N) $ 每投資一美元，分佈在 $ F(z_1,…,z_n). $ 所有回報都是非負的，機率為 1。對於具有連續、遞增和凹伯努利效用函式的個體 $ u(\cdot) $ 超過 $ \mathbb{R_+} $ ，我們定義效用函式 $ U(\cdot) $ 超過 $ \mathbb{R}_+^N $ ，非負投資組合的集合為：
$$ U(\alpha_1,…,\alpha_N) = \int u(\alpha_1 z_1 + \cdots + \alpha_N z_N)dF(z_1,…,z_N) $$ 我們被要求在 c 部分證明 $ U(\cdot) $ 是連續的。
這本書的解決方案有點困難（特別是因為我以前沒有真正使用過測度論），但我的老師說有一種更直接的方法來解決這個問題。我對這兩點都有疑問。
首先，看這本書的論點。
我們創建一個序列 $ (\alpha^m){m \in N} \to \alpha \in \mathbb{R}+^N $ . 那麼如果 $ U $ 是連續的，我們應該得到
$$ (\alpha^m){m \in \mathbb{N}} \to \alpha \implies U(\alpha^m){m \in \mathbb{N}} \to U(\alpha) $$ $ \exists \ \delta > 0 $ 英石 $ \alpha^m \leq (\delta,…,\delta) \ \forall \ m $
自從 $ U(\delta,…,\delta) $ 是有限的， $ z \to u(\sum_n \delta z_n) $ 是可積的。
自從 $ u(\cdot) $ 單調和回報是非負的機率。零：
$$ u(\sum_n \alpha_n^m z_n) \leq u(\sum_n \delta z_n) \ \forall \ m, (z_1,…,z_N) $$ 自從 $ u(\cdot) $ 連續的，
$$ u(\sum_n \alpha_n^m z_n) \to u(\sum_n \alpha_n z_n) $$幾乎所有 $ (z_1,…,z_N) $ 在這裡，本書決定應用勒貝格的主導收斂定理。我們在一些度量空間 $ (S, \Sigma, \mu) $ 這表明對於某些功能序列 $ {f_n} $ , 如果它逐點收斂到某個函式 $ f $ 和
$$ \mid f_n(x) \mid \leq g(x) \ \forall n \quad \text{in index}, \ \forall x \in S $$ （回想一下我們建構的 $ g(x) $ 較早）
然後 $ F $ 是可積的並且
$$ \lim_{n \to \infty} \int_S \mid f_n - f \ \mid d \mu = 0 $$ $$ \implies \int_S \mid f_n - f \ \mid d \mu \to f d \mu $$ 所以
$$ \int u(\sum_n \alpha_n^m x_n) dF(x_1,…,x_N) \to \int u(\sum_n \alpha_n x_n) dF(x_1,…,x_N) $$ $$ \implies U(\alpha^m)_{m \in \mathbb{N}} \to U(\alpha) $$
為了清楚起見，我添加了 Lebesgue 主導收斂的直接定義，我想我理解了證明，但是我對這部分的問題是什麼是測度空間？我知道 $ S = \mathbb{R}_+^N $ ， 和 $ \mu = F $ ，但什麼是 $ \Sigma $ 應該是？我認為它應該是一個 $ \sigma $ - 代數，但我不知道如何在這裡建構/找到它。我也很可能完全弄錯了我正在處理的空間，所以就是這樣。
因此，我嘗試自己為這個問題設置一個證明。我還設置了一個序列。
$ (\alpha^m){m \in N} \to \alpha \in \mathbb{R}+^N $ . 然後我想有某種跳躍不連續性 $ U $ 並表明它會導致矛盾。
所以 $ (\alpha^m){m \in \mathbb{N}} \to \alpha $ 和 $ U(\alpha^m){n \in \mathbb{N}} \not \to U(\alpha) $
到目前為止，我試圖找到一個令人滿意的證據的嘗試都沒有結果。任何幫助都將不勝感激，無論是證明本身，還是只是大綱或一些關於使用原始問題的資訊的提示。
關於你的第一個問題，你可以應用勒貝格定理的空間是 $ \mathbb{R}_{+}^{N} $ . 相關的 $ \sigma $ -代數是Borel $ \sigma $ -代數和積分對應於勒貝格測度。正式地，用你的符號，函式 $ f_m $ 在向量上定義 $ x=(x_1,\cdots,x_N) $ 經過
$$ \begin{equation*} f_m(x_1,\cdots,x_N) = u(\sum_{n}{\alpha_n^m x_n}) \end{equation*} $$ 關於你的第二個問題，在我看來，建構一個反例將是困難和乏味的。很少以這種方式進行連續性證明。你可能會問你的老師他有什麼樣的論點。您可能希望探索的一種可能性是回到連續性的定義。基本上，您想表明：
$$ \begin{equation*} \forall \alpha, \forall \epsilon>0, \exists \delta>0 \text{ such that } |\alpha-\beta|<\delta \Rightarrow |U(\alpha)-U(\beta)|<\epsilon \end{equation*} $$ 你可以嘗試更換 $ U(\alpha) $ 和 $ U(\beta) $ 通過他們的表達和操縱得到的積分。但這基本上歸結為再次證明勒貝格收斂定理：因此，這個解決方案不會更簡單，但它可能會幫助你理解這個結果背後的原因。
你想證明 $ U(\alpha) = \int_z u(\alpha\cdot z) dF(z) $ 是連續的，鑑於 $ u(w) $ 是連續的？
根據定義 $ |U(\alpha)-U(\alpha’)| = |\int_z u(\alpha\cdot z) - u(\alpha’ \cdot z) dF(z) | <\int_z |u(\alpha\cdot z) - u(\alpha’ \cdot z)| dF(z) $ . 接管至高無上的 $ z $ ， 要得到 $$ \int_z |u(\alpha\cdot z) - u(\alpha’ \cdot z)| dF(z) < \sup_{z} |u(\alpha\cdot z) - u(\alpha’ \cdot z)| = |u(\alpha\cdot \xi) - u(\alpha’ \cdot \xi)| $$ 現在自從 $ u(w) $ 是連續的，取 $ ||\alpha-\alpha’|| $ 足夠接近 $ |\alpha\cdot \xi - \alpha’ \cdot \xi| < \delta $ ， 在哪裡 $ \delta $ 足夠小，以至於 $ |w-w’|<\delta $ 暗示 $ |u(w) - u(w’)| <\varepsilon $ . 這意味著$$ |U(\alpha)-U(\alpha’)| < |u(\alpha\cdot \xi) - u(\alpha’ \cdot \xi)| < \varepsilon. $$