顯示在噸−∫噸0Xsds在噸−∫0噸XsdsW_t - int_0^t xi_s ds是前向測量-布朗
定義和東西：
考慮一個過濾的機率空間 $ (\Omega, \mathscr F, {\mathscr F_t}_{t \in [0,T]}, \mathbb P) $ 在哪裡
- $$ T > 0 $$
- $$ \mathbb P = \tilde{\mathbb P} $$
這是風險中性措施。
- $$ \mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}} $$
在哪裡 $ W = \tilde{W} = {\tilde{W_t}}{t \in [0,T]} = {{W_t}}{t \in [0,T]} $ 是標準的 $ \mathbb P=\tilde{\mathbb P} $ -布朗運動。
考慮 $ M = {M_t}_{t \in [0,T]} $ 在哪裡
$$ M_t := \frac{\exp(-\int_0^t r_s ds)}{P(0,t)} $$
定義前向測量 $ \mathbb Q $ :
$$ \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} := M_T = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)} $$
在哪裡 $ {r_t}{t \in [0,T]} $ 是短速率過程和 $ {P(t,T)}{t \in [0,T]} $ 是時間 t 的債券價格。
可以證明 $ {\exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T)}_{t \in [0,T]} $ 是一個 $ (\mathscr F_t, \mathbb P)- $ 鞅，其中債券價格動態如下：
$$ \frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t $$
在哪裡
- $ r_t $ 和 $ \xi_t $ 是 $ \mathscr F_t $ -適應
- $ \xi_t $ 滿足諾維科夫的條件（我不認為 $ \xi_t $ 應該特別代表任何東西）
問題：
定義隨機過程 $ W^{\mathbb Q} = (W_t^{\mathbb Q})_{t\in[0,T]} $ 英石
$$ W_t^{\mathbb Q} := W_t - \int_0^t \xi_s ds $$
用**Girsanov 定理**證明：
$$ W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb Q \ \text{-Brownian motion.} $$
我嘗試了什麼：
自從 $ \xi_t $ 滿足諾維科夫的條件，
$$ \int_0^T \xi_t dt < \infty \ \text{a.s.} \ \to \ \int_0^T -\xi_t dt < \infty \ \text{a.s.} $$
$$ \to L_t := \exp(-\int_0^t (-\xi_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \xi_s^2 ds) $$
是一個 $ (\mathscr F_t, \mathbb P)- $ 鞅。
由吉薩諾夫定理，
$$ W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb P^{*} \ \text{-Brownian motion, where} $$
$$ \frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} := L_T $$
我想我們有 $ W_t^{\mathbb Q} $ 是標準的 $ \mathbb Q $ -布朗運動，如果我們能證明的話
$$ L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} $$
我失去了我的筆記，但我認為我能夠使用 Ito 引理證明
- $$ dL_t = L_t \xi_t dW_t $$
- $$ dM_t = M_t \xi_t dW_t $$
從那些我推斷
$$ d(\ln L_t) = d(\ln M_t) $$
$$ \to L_t = M_t $$
$$ \to L_T = M_T $$
量子點
是對的嗎？
（仔細觀察使用的問題和符號，這個表述似乎在幾個地方有問題。）
一般事實
讓 $ W $ 是關於過濾的標準布朗運動 $ ( \mathscr F_t ){t \in [0,T]} $ . 考慮 $ (L_t){t \in [0,T]} $ 被定義為 $$ \frac{dL_t}{L_t} = \psi_t dL_t, ; L_0 = 1. $$ 一般來說， $ L_t = e^{\int_0^t \psi_s dW_s - \frac12 \int_0^t \psi^2_s ds } $ 是超級鞅。在某些條件下（例如諾維科夫的條件）， $ L_t $ 是鞅，可以定義機率測度 $ \mathbb{Q} $ 經過 $$ \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T. $$ 在下面 $ \mathbb{Q} $ , 過程 $$ W^{\mathbb{Q}}t = W_t - \int_0^t \psi_s ds $$ 是關於過濾的標準布朗運動 $ ( \mathscr F_t ){t \in [0,T]} $ .
一個非正式的說明為什麼這是真的如下。考慮 $ W^{\lambda}_t = W_t + \int_0^t \lambda_s ds $ . 根據貝氏定理， $ W^{\lambda} $ 是一個 $ \mathbb{Q} $ -鞅當且僅當 $ L W^{\lambda} $ 是一個 $ \mathbb{P} $ -鞅。自從
$$ \begin{align*} d L W^{\lambda} &= L d W^{\lambda} + W^{\lambda} dL + dL dW^{\lambda}\ &= L (\psi + \lambda) dt + (\cdots) dW, \end{align*} $$ 我們必須有 $ \lambda = - \psi $ ， 為了 $ W^{\lambda} $ 成為一個 $ \mathbb{Q} $ -布朗運動。
作為機率密度的折扣價格
隱含的假設是有一種標的資產，其價格 $ S_t $ 跟隨 $$ \frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t $$ 在風險中性措施下 $ \mathbb{P} $ . 短期利率 $ (r_t) $ 和波動性 $ \sigma_t $ 過程以足夠的規律性進行調整，以使積分存在。（為此，布朗過濾由 $ (W_t) $ 在風險中性測度下必須與物理布朗運動在物理測度下產生的相同，因此鞅表示定理適用。）
在這種布朗過濾設置中，任何時候—— $ T $ 宣稱 $ X_T $ , 其價格的風險中性動態 $ X_t $ 採取形式 $$ \frac{d X_t}{X_t} = r_t dt + \psi_t dW_t. $$ 過程 $ (\psi_t) $ 是回報的波動率 $ X_t $ ，在物理和風險中性措施下。
換句話說，折現價格的風險中性動態 $ M_t = e^{- \int_0^t r_s ds} X_t $ 是（誰）給的 $$ \frac{d M_t}{M_t} = \psi_t dW_t, , M_0 = X_0. $$ （任何折扣價 $ T $ - 索賠必須遵循風險中性度量下的鞅，不得套利。）
如果諾維科夫的條件成立，那麼 $ L_T = \frac{M_T}{M_0} $ 定義了 Radon-Nikodym 密度 $$ \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T. $$ 在下面 $ \mathbb{Q} $ , 過程 $$ W_t - \int_0^t \psi_s ds $$ 是關於過濾的標準布朗運動 $ ( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]} $ .
換句話說，貼現收益 $ e^{- \int_0^T r_s ds} X_T $ 任何的 $ T $ -宣稱 $ X_T $ ，按時間正規化- $ 0 $ 價格 $ X_0 $ , 可以被認為是測量的 Radon-Nikodym 密度 $ \mathbb Q $ . 在下面 $ \mathbb Q $ , 風險中性的布朗運動現在有由收益波動性給出的漂移 $ \frac{d X_t}{X_t} $ .
如果 $ (Y_t) $ 是交易資產的價格，那麼 $ e^{- \int_0^t r_s ds} Y_t $ 是一個 $ \mathbb P $ -鞅。這意味著 $ (\frac{Y_t}{X_t}) $ 是一個 $ \mathbb Q $ -鞅。
前向測量
前向測量是上面的一個特例，其中 $ X_t = P(t,T) $ 是時間- $ t $ 到期的零息債券價格 $ T $ . 尤其， $ X_T = P(T,T) = 1 $ . 在表達式中 $$ \frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t, $$ $ \xi_t $ 是零息債券收益率的波動率。
（如果 $ (r_t) $ 是確定性的，那麼 $ \xi = 0 $ , 遠期測度與風險中性測度相同。只有當短期利率是隨機的時，零息債券才是風險資產。）
相應的措施 $ \mathbb Q $ 定義為 $$ \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{e^{- \int_0^T r_s ds} P(T,T)}{P(0,T)} = L_T. $$ 自從 $$ \frac{d L_t}{L_t} = \xi_t dW_t, $$ 從上面的一般性討論可以看出，在 $ \mathbb{Q} $ , 過程 $$ W_t - \int_0^t \xi_s ds $$ 是關於過濾的標準布朗運動 $ ( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]} $ .
（在發布的問題中，鞅 $ M_t $ 應該 $ \frac{e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)}{P(0,T)} $ . 在風險中性度量下，貼現的資產價格是鞅。）
經驗評論
前向措施 $ \mathbb Q $ 具有遠期價格形成的性質 $ \mathbb Q $ -鞅。
認為 $ F(t,T) $ 是遠期合約的遠期價格 $ t $ 成熟的 $ T $ . 通過無套利（在這種情況下，即期遠期平價） $$ F(t,T) P(t,T) = S_t $$ 折現後是 $ \mathbb P $ -鞅。所以 $ F(t,T) $ 是一個 $ \mathbb Q $ -鞅。
由於遠期價格 $$ F(t,T) = \frac{S_t}{P(t,T)} $$ 相對於 $ P(t,T) $ . 遠期測量將機率質量轉移到零息債券貼現回報率的狀態 $$ \frac{d \left( e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T) \right)}{ e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)} = \xi_t dW_t, $$ 很高，以這樣一種方式抵消了運動 $ P(t,T) $ 並保持（條件）期望不變。