顯示效用函式給出理性和凸的偏好
考慮具有偏好關係的消費者 $ \succsim $ 超過非負商品 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ 這樣他們的效用 U = $ x_1 $ + $ \ln(x_2) $
這些偏好是合理的嗎？它們是凸的/嚴格凸的嗎？
我對如何做到這一點有點困惑。所以首先，我知道偏好需要是完整的和傳遞的才能是理性的，但是對於效用函式，它只需要是連續的，對嗎？它還需要其他屬性嗎？話雖如此，我如何在數學上證明這個函式實際上是連續的？如果我繪製它，它是連續的，但是有數學證明嗎？
對於第二部分，如果偏好是（嚴格）凸的，那麼偏好必須是（嚴格）準凹的，對吧？我如何在數學上證明上面的這個函式是準凹的？
線上，它說一個函式是準凹的，如果 $ f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big {}f(x),f(y){\big }} $ ，但我很難理解這一點與一個同時具有 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ 價值。當我在看上面的函式時，我只理解它 $ f(a) = a^2 $ 並且那裡沒有第二個變數。
謝謝！
我會給出一些提示來幫助您入門。首先，請注意，由於偏好 $ \succsim $ 由效用函式表示 $ U(x_1,x_2)=x_1+\ln x_2 $ ， 它遵循 $$ \begin{equation} (x_1,x_2)\succsim (x_1’,x_2’)\quad\Leftrightarrow\quad U(x_1,x_2)\ge U(x_1’,x_2’) \tag{1} \end{equation} $$
牢記這種等價性，請考慮：
- 完整性： $ \succsim $ 如果對所有人來說是完整的 $ (x_1,x_2),(x_1’,x_2’)\in\mathbb R_+^2 $ , $$ \begin{equation} \text{either }(x_1,x_2)\succsim (x_1’,x_2’), \quad\text{or }(x_1’,x_2’)\succsim(x_1,x_2). \tag{2} \end{equation} $$ 使用 $ (1) $ , 我們可以重寫 $ (2) $ 作為 $$ \begin{equation} \text{either }U(x_1,x_2)\ge U(x_1’,x_2’), \quad\text{or }U(x_1’,x_2’)\ge U(x_1,x_2). \tag{2*} \end{equation} $$ 現在 $ (2^*) $ 應該很容易證明使用以下性質 $ \mathbb R $ 是一個有序欄位。
- 傳遞性：使用相同的技巧將偏好排序轉換為實數排序。
- 凸性：從定義開始 $ \succsim $ 如果有的話是凸的 $ \alpha\in[0,1] $ , $$ \begin{multline} (x_1,x_2)\succsim(x_1’’,x_2’’) \text{ and } (x_1’,x_2’)\succsim (x_1’’,x_2’’) \\Rightarrow \quad \alpha(x_1,x_2)+(1-\alpha)(x_1’,x_2’)\succsim(x_1’’,x_2’’) \end{multline} $$ 同樣，將偏好排序轉換為實數排序以證明其含義。自從 $ U $ 是準線性的，這樣可以省去一些處理黑森州等的麻煩。
- 為了使偏好是理性的，它們必須是完整的和傳遞的。請注意，由於偏好 $ \succsim $ 由效用函式表示 $ u:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R} $ （如問題中所定義），我們有 $ x\succsim y\iff u(x)\geq u(y) $ 對於任何 $ x,y\in \mathbb{R}^{2} $ .
完整性：考慮任何 $ x, x’\in \mathbb{R}^{2} $ . 自下單以來 $ \geq $ 的 $ \mathbb{R} $ 是完備的（即任意兩個實數都可以比較），我們有 $ u(x)\geq u(x’)\iff x\succsim x’ $ 或者 $ u(x’)\geq u(x)\iff x’\succsim x $ . 傳遞性：考慮任何 $ x,y,z\in \mathbb{R}^{2} $ 並假設 $ x\succsim y $ 和 $ y\succsim z $ . 因此我們有 $ u(x)\geq u(y) $ 和 $ u(y)\geq u(z) $ . 自下單以來 $ \geq $ 的 $ \mathbb{R} $ 是傳遞的，我們有 $ u(x)\geq u(z) $ 這相當於 $ x\succsim z $ .
附註：如果偏好確實由效用函式表示，它們是理性的，因為順序 $ \geq $ 是 Reals 上的一個完整且可傳遞的順序。因此，不需要效用函式的連續性來得出理性偏好。
- 效用函式是嚴格凹的。這是 Martin Osborne 的材料：https ://mjo.osborne.economics.utoronto.ca/index.php/tutorial/index/1/cvn/t 。
一般來說，您可以查看 Hessian 的多變數二次可微函式，例如這個。您提到的效用函式（嚴格）是凹的。嚴格的凹度意味著嚴格的準凹度，因此偏好是（嚴格）凸的。