解決一個有可能轉移到新狀態的 HJB
我正在嘗試解決公司面臨未來稅收可能性的問題，持續時間。
公司最大化 $ V(k)=\int_{t=0}^{\infty}e^{-rt} \pi_t dt $ 和 $ \pi_t=f(k_t)-i_t $ 和 $ \dot{k}=i_t-\delta k_t $ . 有一個機率 $ \rho $ 每單位時間轉移到一個徵收稅款的新州，利潤變成 $ f(k_t)-i_t-\tau k_t $ . 這是一個部分均衡問題，我們假設 $ r $ , $ \delta $ 和 $ \rho $ 是外生的。
我正在嘗試使用 Hamiltonian-Jacobi-Bellman (HJB) 函式來解決這個問題： $$ \begin{align*} rV_1 &= \max_{i} {f(k_t)-i_t+\rho (V_2-V_1)+\dot{V}1} \ rV_2 &= \max{i} {f(k_t)-i-\tau k_{t}+\dot{V}_2} \end{align*} $$
我知道如何求解第二個方程，遵循Walde 2012使用動態規劃的方法。一、重寫$$ f(k_t)-i_t-\tau k_t + V’_2(k_t)\dot{k_t}=f(k_t)-i_t-\tau k_t+ V’_2(k_t)(i_t-\delta k_t) $$然後，將 FOC 與 $ i_t $ ，產生 $$ V’_2(k_t)=1 $$ 然後，使用包絡條件找到 $$ \begin{align*} rV’_2=f’(k_t)-\tau+V’’_2(k_t)(i_t-\delta k_t)-\delta V’_2(k_t) \end{align*} $$ 這可以使用 FOC 簡化為$$ \begin{align*} f’(k_t)=r+\delta+\tau \end{align*} $$ 這會產生與簡單哈密頓量相同的解決方案。
但是，我不確定下一步如何進行以及如何在徵稅和解決不確定性之前解決問題。
此外，如果您有一些關於連續時間動態控制的參考資料，我會非常感興趣，特別是如果他們用額外的約束來處理 HJB 的情況。
預先感謝您的幫助！
編輯：為澄清起見，一旦我們到達徵收稅款的新州，就不可能回到以前的州。唯一的不確定性是何時徵收稅款，即何時解決不確定性。
我會將此作為評論，但我不能。你在正確的軌道上。
- 一旦你知道 $ V_2(k) $ 然後您可以將其插入第一個 hjb 並解決。
- 為了解決 $ V_2 $ 你需要找到最佳的 $ i $ 作為一個函式 $ k $ . 然後插 $ i(k) $ 進入第二個HJB。這會給你一個二階頌歌。解決它會給你 $ V_2(k) $ 你去1。
按照user28714的回答，我嘗試了以下方法。首先，代替FOC，我重寫 $ V_2 $ 作為 $$ \begin{align*} rV_2 &= f(k_t)-i_t - \tau k_t + i_t-\delta k_t \ &= f(k_t - \tau k_t - \delta k_t \end{align*} $$ 因此，我們得到 $$ V_2 = \frac{1}{r}\left(f(k_t) - k_t(\tau + \delta) \right) $$ 代入 $ V_1 $ ，我們得到 $$ rV_1 = \max_{i} \left{ f(k_t)-i_t + \rho\left(\frac{1}{r}\left(f(k_t) - k_t(\tau + \delta) \right)-V_1\right) + V’_1(i_t-\delta k_t) \right} $$
FOC 不變： $ V’_1=1 $ ，並且包絡條件變為 $$ \begin{align*} rV’_1 = f’(k_t)+\rho\left(\frac{1}{r}(f’(k_t)-\tau - \delta)-V’_1\right)+V’’_1(i_t-\delta k_t) - \delta V’_1 \end{align*} $$ 注意到 $ \dot{V’_1} = V’’_1 (i_t-\delta k_t) $ 並使用包絡條件替換，我們發現 $$ \begin{align*} \dot{V_1}=V’_1(r+\delta+\rho)-f’(k_t)-\frac{\rho}{r}(f’(k_t)-\tau - \delta) \end{align*} $$ 使用 $ V’_1=1 $ 和 $ \dot{V’_1}=0 $ ，我們得到 $$ \begin{align*} f’(k_t)(1+\frac{\rho}{r})&= r+\delta +\rho +\frac{\rho}{r}(\tau + \delta) \ f’(k_t) &= \frac{r}{r+\rho}\left( r+\delta +\rho +\frac{\rho}{r}(\tau + \delta) \right) \ f’(k_t) &= r + \delta + \frac{\rho }{r+\rho}(r+ \frac{\rho}{r}\tau) \end{align*} $$
哪個不是最優雅的結果…有人可以確認我的結果嗎？