可測函式空間拓撲
上下文如下：
假設我們有一個 2 週期的順序遊戲，玩家 $ i $ 在階段 $ i $ , 帶有動作集 $ A_i $ .
給 $ A_i $ 所有好的屬性，作為緊湊的、可分離的度量空間（我什至很樂意考慮 $ A_i \subset \mathbb{R}) $ .
玩家 1 的策略是一張地圖 $ \sigma \in \Delta(A_1) $ , 對於 P2 是一個可測量的函式 $ \eta:A_1 \rightarrow \Delta(A_2) $ .
很明顯，當我賦予 $ \Delta(A_1) $ 對於弱拓撲，我可以談論具有收斂子序列的一系列策略。
有沒有我可以放的拓撲 $ \Sigma={\eta:A_1 \rightarrow \Delta(A_2) : \eta \text{ measurable}} $ 這允許我提取收斂子序列？
並不真地。您可以在這個空間中放置許多緊湊的可度量拓撲，但沒有一個與問題的結構有意義地相關。
我們先來看案例 $ A_1=[0,1] $ 和 $ A_2={0,1} $ . 考慮高程函式 $ e:A_1\times\Sigma\to\Delta(A_2)=[0,1] $ 由 $ e(a,\eta)=\eta(a) $ . 如果你想要玩家的終極動作選擇 $ 2 $ 在播放器中保持連續 $ 1 $ 的行動和玩家的策略選擇 $ 2 $ ， 你需要 $ e $ 是連續的。尤其， $ e $ 當你賦予時應該是可衡量的 $ \Sigma $ 與 Borel $ \sigma $ -代數。那永遠行不通：
從 Robert Aumann 1961 年的論文“函式空間的 Borel 結構”中的主要結果（定理 D）得出，不存在 Borel $ \sigma $ -代數開 $ \Sigma $ 這使得 $ e $ 共同衡量。對於消費者，我建議閱讀 Aumann 1963 年的文章“關於隨機選擇函式”。
為了使這更容易消化，讓 $ F $ 是從單位區間到自身的可測函式集。讓 $ e:[0,1]\times F\to [0,1] $ 由 $ e(x,f)=f(x) $ . 如果我們賦予 $ [0,1] $ 與 Borel $ \sigma $ -代數和 $ F $ 與任何（！） $ \sigma $ -代數， $ e $ 必然是不可測量的。現在，根據 Kuratowski 的同構定理，所有不可數的可分和完全度量空間都同構為可測空間。這將包括 $ A_1 $ （如果不可數）和 $ \Delta(A_2) $ （如果 $ A_2 $ 至少有 $ 2 $ 元素）。