效用與少數人的暴政
繼續這個問題。
使用類似的約束：
關於我正在建模的系統的限制是（並正在尋找一個通用的解決方案）：
- 每一單位商品的邊際效用必須為正（或零）、有限且遞減（儘管永遠不會低於零）。
- 所有商品的可用數量必須是有限的，儘管它們可以任意大。2.a 系統中可以有任意數量的其他商品，但數量有限。
- 當某個類別的商品（比如“汽車”）從組中的任何成員轉移到“怪物”時，所有人的總效用必須增加，而除一個（“怪物”）之外的所有人的個人效用必須減少。
- 對於從“無辜者”（不是怪物的人）到“怪物”的“汽車”的所有轉移，以及系統中“汽車”的耗盡，都應該滿足條件 3。
區別
讓我們把“怪物”換成一群人，仍然是少數。
是否可以在它們對商品 (x) 的效用函式和它們在總體中的表示 (p) 之間定義數學關係，從而為一類“效用怪物”的存在設定下限。
例如，如果“怪物”組 a 的成員具有功能 $ u(x)=Ax+\frac{b}{x^2} $ 而無辜者（即非怪物群體）的成員具有效用函式 $ v(x)=Cx+\frac{d}{x^2} $ ，我們可以描述的比率 $ M:I $ （在哪裡 $ M $ 是“怪物”組的大小，並且 $ I $ 是允許的“無辜”組的大小） $ M $ 僅在以下方面作為“實用怪物”類存在 $ A $ , $ b $ , $ C $ ， 和 $ d $ ?
這基本上是關於在模擬中建構非帕累托經濟的問題。
解決方案：
如果我們假設組效用函式等於：
$$ G(x)= M\times u(qx) + I \times v(rx) $$ 在哪裡：
$$ u(x) = Ax+\frac bx $$ $$ v(x) = Cx+\frac dx $$ 和：
$$ q+r=1 $$ $$ q,r,A,b,C,D \in\mathbb{R}(0,\infty) $$ $$ x,M,I\in\mathbb{Z} [1,\infty) $$ 我們可以將我們的目標描述為定義一些不公平分配的情況的邊界 $ M<I $ 和 $ q>r $ , $ G(x) $ 大於如果 $ r>q $ （更“公平”的分配）。
我們甚至可以將問題簡化為找到一組變數約束 $ M,I,q,r,A,b,C, $ 和 $ d $ 這樣就可以滿足不等式（假設 $ q $ 和 $ r $ 相等並被丟棄）：
$$ M(Ax + \frac {b}{x}) > I(Cx+\frac{d}{x}) $$ $$ x\in \mathbb{Z}[1,\infty) $$ 所以採取 $ \lim_{x\to\infty} $ 雙方，我們可以看到，如果 $ \frac{A}{C}>\frac{I}{M} $ 大體上 $ x $ 不等式得到滿足。
相反，在 $ x=1 $ ，我們得到 $ M(A+b) $ 和 $ I(C+d) $ .
這將證明存在一個非帕累托最優解，它仍然滿足邊際效用遞減的想法，並且對於任何有兩個偏好函式的任何類別的商品的所有分配，都使整體群體效用最大化 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 只要它們的分佈使得
$$ 1 $$: $$ \infty>AM>CI+d>0 $$ 或者一般來說，只要其效用函式的係數大於無辜階級的係數乘以它佔人口的比例乘以該階級在經濟中考慮的商品總數，就可以存在“怪物階級”：
$$ {c_M|c_M>c_I\times\frac{I}{M}\times x} $$ $$ 1 $$再次，假設 $ MU \geq0 $ 永遠是真的
我相信我們必須假設怪物組的邊際效用沒有或不尋常的下降。假設我們談論的是財富，而一小部分人越來越渴望變得更富有（即總是更多），可能是這樣的情況，他們獲得的快樂，比如多出 3.27 億美元將超過累積在美國每人損失 1 美元。但我認為我們需要為怪物假設一個形狀奇特的邊際效用圖，否則這只會在短時間內發生，即可能存在適合這種情況的非帕累托轉移，但它不能持續很長時間。