AR (1) 模型中的變異數
我想知道是否有人可以根據表達式 (3) - (4) 所需的代數步驟來幫助我，用於下面 AR (1) 的移動平均表示？
將不勝感激。
$$ y_t=a +\theta_1y_{t-1}+u_t $$
$$ var[y_t]= E([(u_t+\theta_1u_{t-1}+\theta^2u_{t-2}+…+\theta^{t-1}u_1)]^2) $$
$$ var[y_t]= \sigma^2(1+\theta^2+\theta^4+…+\theta^{t-1}) $$
$$ var[y_t]= \sigma^2\frac{ 1-\theta_1^{2t}}{1-\theta_1^2} $$
$$ Var[y_t] = E[(u_t+\theta_1u_{t-1}+\dots+\theta_1^{t-1}u_1)^2] = E[u_t^2]+\theta_1^2E[u_{t-1}^2]+\theta_1^4 E[u_{t-2}^2] + \dots +\theta_1^{2t-2}E[u_1^2] $$ 後一個等式來自以下假設： $ u_t $ 不是序列相關的（即 $ E[u_{i}u_{j}] = 0\ \forall\ i \neq j $ ）。那麼，由於 $ E[u_{t}^2] = \sigma^2\ \forall\ t $ 它遵循 $$ Var[y_t] = \sigma^2(1+\theta_1^2 + \theta_1^4+\dots+\theta_1^{2t-2}) $$ 還有待尋找 $ (1+\theta_1^2 + \theta_1^4+\dots+\theta_1^{2t-2}) $ 這等於 $ \frac{1-\theta_1^{2t}}{1-\theta_1^2} $ 根據幾何級數和公式。
因此，$$ Var[y_t] = \sigma^2\frac{1-\theta_1^{2t}}{1-\theta_1^2} $$