違反偏好單調性
嗨，我正在讀碩士課程中的 Jehle 和 Reny，我在其中一個練習中遇到了問題。當一個學生給她一個反例然後說這個例子說明我們的邏輯是錯誤的時，我的導師自己也有點困惑。我想協調範例和數學邏輯。這是討論了解決方案的問題。
Q1.24 讓你（ $ \textbf x $ ) 代表一些消費者的單調偏好 $ \textbf x ∈ \mathbb{R}^n_+ $ . 對於每個功能 $ f (x) $ 接下來，說明 f 是否也代表該消費者的偏好。在每種情況下，請務必使用論據或反例來證明您的答案是正確的。
(c) 部分 $ f (x) = u(\textbf x) +\Sigma_{i=1}^{n} x_i $
現在我相信這個函式是 $ u(\textbf x) $ 因此是固有的“單調”偏好的表示。我提供了兩個證明這一事實的證據和一個反例，這造成了理解上的困難
證明1：（OP的證明）
讓 $ \textbf x^1 \ge \textbf x^2. $ (1)
清楚地， $ \textbf x^1 \succsim \textbf x^2 $ （因為偏好是單調的）（2）
$ \because \textbf x^1 \ge \textbf x^2 \implies \Sigma_{i=1}^{n} x_i^1 \ge \Sigma_{i=1}^{n}x_i^2 $ …(3)
$ \therefore u(\textbf x^1)\ge u(\textbf x^2) $ （通過（2））….（4）
$ \therefore f(\textbf x^1)\ge f(\textbf x^2) $ （由 3 和 4）
證明（2）：Book的解法手冊
反例： $ u(x_1,x_2)=x_1x_2 $ $ u(1,4)=4 $ 和 $ u(2,2)=4 $ 和 $ (2,2)~(1,4) $ 但 $ f(1,4)=9 $ 和 $ f(2,2)=8 $
我相信我們得到了這個反例，因為我們天生就假設偏好的嚴格凸性/凸性。我們沒有得到偏好是凸的/嚴格凸的。
有什麼想法嗎？
一般來說，它不會代表相同的偏好。在這種情況下，“單調變換”的含義似乎存在混淆。它與單調偏好沒有太大關係。
我們說效用函式 $ v:X\to\mathbb{R} $ 是效用函式的單調變換 $ u:X\to\mathbb{R} $ 如果存在嚴格的增函式 $ g:u(X)\to\mathbb{R} $ （域是范圍 $ u $ ) 使得 $ v(x)=g(u(x)) $ 對全部 $ x\in X $ . 效用函式的單調變換總是代表相同的偏好，這與這些偏好是單調的、凸的還是類似的無關。
我們可以通過假設簡化 $ u $ 是線性的，其中我們可以處理 $ u $ 作為該組項目的總美元價值，以及 $ f $ 是總美元價值加上項目的數量。或者，換句話說， $ f $ 添加 $ 1 $ 每件商品的美元價值。你更喜歡 $ 1000 $ 幾美分對一鑽石的價值 $ \$100 $ ? $ u(1000 \text { pennies}) = 10 $ , $ u(\text{diamond})=100 $ ， 所以 $ u $ 說鑽石更好。 $ f(1000 \text { pennies}) = 1010 $ , $ f(\text{diamond})=101 $ ， 所以 $ f $ 說硬幣更好。
事實是 $ f $ 是“單調的”（更準確的措辭是它對於每個組件都是單調的）只是意味著 $ f $ 給出一個高於 $ u $ 對於同一籃子商品。它沒有說明比較不同籃子商品時會發生什麼。