什麼是 DSGE 建模的狀態空間表示
我從 DSGE 建模開始，數學表示（對於大多數更關注這個主題的人來說可能微不足道）是動態模型的空間狀態表示，就像這裡描述的(s.2) 或類似的文件。
我已經閱讀了有關該主題的Wikipedia文章，並且大致了解了（在這種情況下應用於工程）。但我想進一步解釋這如何應用於 DSGE 建模，如果可能的話，還有一些文獻（最好以經濟學為重點）。具體的問題是什麼是狀態空間表示，如果可能的話，有一些直覺，它在經濟學中的用途（控制理論），以及關於符號的一些關鍵見解。
謝謝！
這個問題就目前而言太寬泛了。已經有更長的答案，但我認為可以輕鬆處理問題的核心部分。
具體的問題是什麼是狀態空間表示，如果可能的話，有一些直覺，它在經濟學中的用途（控制理論）
我的背景是控制系統理論，其中發展了狀態空間表示的概念。包括卡爾曼濾波器在內的最優控制理論主要是在 1960 年代發展起來的。經濟學家一直在使用核心思想，但遷移到他們自己的數學表示標準。
狀態空間模型是數學系統的規範表示。這個想法是採用從底層動力學派生的模型，並將其重新轉換為標準格式，以便可以將現有工具應用於它。
在控制理論中，非線性狀態空間系統的標準規範形式是： $$ x(t+1) = f(t, x(t), w(t)), $$ $$ y(t) = g(t, x(t), w(t)), $$ $$ x(0) = x_0 \in R^n, $$ 和：
- $ x(t) $ 一個 n 維狀態向量，
- $ w(t) $ 所有外部變數的向量，
- $ y(t) $ 測量變數的向量。
一個相當典型的簡化是系統是線性且時不變的，其中描述折疊為： $$ x(t+1) = A x(t) + B w(t), $$ $$ y(t) = C x(t) + D w(t). $$
出現的外部變數的典型例子 $ w $ 包括：
- 用於控制系統的變數（通常由回饋規則固定），
- 擾亂狀態變數的變數，
- 影響測量的雜訊。
向量 $ w $ 通常根據這些情況被劃分為組，並且 $ B,C,D $ 矩陣被相應地劃分。
一旦我們有了這種格式的系統，我們就可以應用現有的工具。一個典型的例子是應用卡爾曼濾波器來推斷狀態變數 $ x(t) $ 來自直接測量的變數。數值工具箱將根據 $ [A,B,C,D] $ 表示。
在經濟學中，變數 $ r^* $ 通常通過使用卡爾曼濾波器來推斷（例如，參見紐約聯儲 r* 頁）。這個變數大致對應於所謂的“自然利率”，不能直接測量。相反，它需要從測量變數中推斷出來。這個例子強調了為什麼我們需要區分狀態向量和可直接測量的變數。狀態向量包括系統動態描述所需的所有變數，而不僅僅是測量的變數。
（注意：控制理論對“可觀察”使用了一個有點不直覺的定義。如果變數的值可以從測量中推斷出來，那麼它就是可觀察的——即使它不是直接測量的。由於可觀察性是卡爾曼濾波器收斂的數學要求，所以這個閱讀控制工程師準備的文件時需要牢記。）
作為最後的技術說明，狀態空間表示可能並不總是存在。控制理論中的一個關鍵例子是具有時間延遲的線性連續時間系統。它需要無限數量的狀態來表示時間延遲，因此工程師被迫要麼使用頻域表示，要麼使用近似值。
線性系統的狀態空間表示：
https://lpsa.swarthmore.edu/Representations/SysRepSS.html
隨著系統變得越來越複雜，用微分方程或傳遞函式表示它們變得很麻煩。如果系統具有多個輸入和輸出，則更是如此。本文件介紹了狀態空間方法，它在很大程度上緩解了這個問題。系統的狀態空間表示用單個一階矩陣微分方程代替了 n 階微分方程。
這種表示的優點包括：
- 符號非常緊湊。即使是大型系統也可以用兩個簡單的方程來表示。
- 因為所有系統都用相同的符號表示，所以很容易開發通用技術來解決這些系統。
- 電腦很容易模擬一階方程。
DSGE 是狀態空間模型（參見第 11 頁，共 20 頁展示文稿）。
https://www.karlwhelan.com/MAMacro/part10.pdf
一般來說，對於一個具有明確定義的計量經濟學估計的模型，對於每個可觀察變數來說，至少有一個不可觀察的衝擊是必要的。這可以採取“測量誤差”的形式，也可以通過清晰的結構解釋在每個方程中涉及沖擊。
混合了可觀察和不可觀察變數的對數線性化 DSGE 模型是狀態空間模型的一個例子。回想一下，這些模型可以使用兩個方程來描述。
第一個，稱為狀態或轉移方程，描述了一組不可觀察的狀態變數 S(t) 如何隨時間演變，如下所示：
S(t) = FS(t−1) + u(t)。
如果所描述的方程是恆等式，則 u(t) 項可以包括正態分佈的誤差或可能為零。我們將其寫為 u(t) ∼ N(0,Σu) 儘管 Σu 可能沒有完整的矩陣秩。
狀態空間模型中的第二個方程，稱為測量方程，將一組可觀察變數 Z(t) 與不可觀察狀態變數聯繫起來
Z(t) = HS(t) + v(t)
同樣，如果所描述的方程是一個恆等式，則 w(t) 項可以包括正態分佈的誤差或可能為零。我們將其寫為 v(t) ∼ N(0,Σv) 儘管 Σv 可能沒有完整的矩陣秩。
在工程中，狀態空間表示主要是根據軟體求解器中應用的標準矩陣方法來表徵系統的標準方法。然而，上面的 DSGE 參考資料說 DSGE 是狀態空間模型。
此連結下的 30 頁工作論文（2012 年）的標題為 DSGE 模型的貝氏估計：
https://philadelphiafed.org/-/media/research-and-data/publications/working-papers/2012/wp12-4.pdf
它提供了 DSGE 模型估計的簡短歷史，然後描述了典型的新凱恩斯 DSGE 模型的應用。第 12 頁描述了 NKDSGE 的狀態空間表示。這句話是對貝氏假設的洞察，即與頻率論假設相比，系統沒有“真實”模型：
由於概似原理（LP），貝氏避免不得不假設存在一個真實或正確指定的 DSGE 模型。LP 是貝氏統計的基礎，它說關於 DSGE 模型的所有證據都包含在其可能性中，其條件是數據；參見 Berger 和 Wolpert (1988)。由於數據對 DSGE 模型的機率評估是通過其可能性進行總結的，因此一套 DSGE 模型的可能性擁有判斷哪個“最佳”擬合數據所需的證據。因此，基於貝氏概似的評估與不存在真正的 DSGE 模型的觀點是一致的，因為例如，此類模型受到無法治癒的錯誤指定的困擾。
所以 DSGE 模型是尋找最可能的底層系統模型的數據。狀態空間表示是一種使用數值理論和方法來建構解決方案搜尋的方法。
兩篇關於 DSGE 模型的學術參考文獻提到了 Dynare 開源軟體，該軟體在底層平台上執行 DSGE 模擬。
問題發佈在 Dynare 論壇上：
PS - 儘管答案很長，但我要補充一點，我作為一名電氣工程師和前商業律師，將金融市場視為現金流系統，我的直覺如下。當投資者和信貸交易商趨同於總體上“承擔風險”的看法時，資產負債表就會擴大，現金流量增加，資產價格上漲，好事就會發生，GDP就會上升。當投資者承擔風險而信貸交易商趨同於總體上“承擔風險”時，資產負債表就會試圖放鬆，現金流量減少，資產價格下跌，壞事發生，GDP下降或無法恢復到以前的增長率，因為智能代理行為的滯後。如果看法不趨同，那麼資產價格將更加穩定，不太容易出現超調和崩盤，但如果看法趨同最終導致超調，它們將趨同導致資產價格暴跌。政府支出、稅收、信用增強和金融監管或缺乏這些可能會減弱或放大基於市場的超調和崩潰模式的原因。因此，智能代理的感知、決策和行動是金融和實體經濟以及無限可能的玩具 DSGE 模型內生的隨機參數。手機網路只有這麼多頻寬。隨機手機使用模式通常不會用完所有可用頻寬。有一天，一場地震襲擊了東海岸。當數百萬人試圖互相打電話討論地震時，隨機使用激增。這個“肥尾”事件耗盡了手機網路中的所有頻寬。銀行和其他金融中介機構 (FI) 旨在通過資產價格上漲或穩定的資產負債表擴張來提供信貸和現金流。這是因為資產是長期債務的抵押品，因此當資產下跌時，借款人的資產負債表就會被淹沒（負資產）。當投資者都想出售而資產價格暴跌而很少有人購買時，這些智能代理輸入會破壞信貸和貨幣市場的流動性和現金流產生能力。矛盾的是，當太多單位同時需要流動性時，系統性市場力量會減少和解除資產負債表容量，這是一個“肥尾”流動性事件。這是因為資產是長期債務的抵押品，因此當資產下跌時，借款人的資產負債表就會被淹沒（負資產）。當投資者都想出售而資產價格暴跌而很少有人購買時，這些智能代理輸入會破壞信貸和貨幣市場的流動性和現金流產生能力。矛盾的是，當太多單位同時需要流動性時，系統性市場力量會減少和解除資產負債表容量，這是一個“肥尾”流動性事件。這是因為資產是長期債務的抵押品，因此當資產下跌時，借款人的資產負債表就會被淹沒（負資產）。當投資者都想出售而資產價格暴跌而很少有人購買時，這些智能代理輸入會破壞信貸和貨幣市場的流動性和現金流產生能力。矛盾的是，當太多單位同時需要流動性時，系統性市場力量會減少和解除資產負債表容量，這是一個“肥尾”流動性事件。