完整性和對沖問題
我正在努力解決的一些私人筆記中的一個問題（考試準備。）。（iii）是我的理解撞牆的地方，此後我迷路了。感激地收到任何幫助/澄清。
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考慮一個金融市場 $ d = 1 $ 風險安全，其價格 $ S^1 $ 由
$$ dS_t^1 = (1/{S_t^1})dt + dW_t^1 $$ 此外，無風險利率為 $ r_f=0 $ ，所以貨幣市場賬戶的價格為 $ S^0 = 1 $ .
i) 推導出風險市場價格的表達式
ii) 推導計價組合的隨機微分方程
iii) 使用現實世界的定價論壇推導出面值為 1 美元的零息債券 (ZCB) 的價格表達式（注意：注意 ZCB 在此模型中是一種股票衍生品！）
iv) ZCB 對沖投資組合權重的推導表達式
v) 考慮一個由上述對沖投資組合中的多頭頭寸和貨幣市場賬戶中的空頭頭寸組成的投資組合，其結構的初始值為零。這個投資組合的最終回報是多少？它是什麼類型的套利？
vi) 有問題的模型是否滿足 NA $ _+ $ ? 證明合法。vii) 所討論的模型是否滿足 NA？證明合法。viii) 有問題的模型是否滿足 NUPBR？證明合法。ix) 所討論的模型是否滿足 NFLVR？證明合法。
$ i,ii,iii) $ 定義 $ x_t $ 經過 $ x_t=(S_t^1)^2 $ . 伊藤公式給了我們
$$ \begin{align} & dx_t=d(S_t^1)^2=2S_t^1dS_t+\frac{1}{2}(2)dS_t^1,S_t^1\ & dx_t=d(S_t^1)^2=2S_t^1(\frac{1}{S_t^1}+dW_t)+dW_tdW_t=3dt+2S_t^1dW_t\ \end{align} $$ 然後 $$ \begin{align} & dx_t=3\ dt+2\sqrt x_t\ dW_t\ \end{align} $$ 建構了以下投資組合：我們購買美元價值的債券 $ V_1 $ 成熟的 $ T_1 $ 並賣出另一隻美元債券 $ V_2 $ 成熟的 $ T_2 $ . 投資組合價值 $ \Pi $ 是（誰）給的 $$ \begin{align} \Pi=V_1-V_2 \end{align} $$ 在哪裡 $ t $ 為方便起見，省略了下標。假設投資組合是自籌資金的，投資組合價值的變化是 $$ \begin{align} d,\Pi=dV_1-dV_2 \end{align} $$ 該策略類似於 Black-Scholes 案例的策略。我應用伊藤引理來獲得 $ V_1 $ ，這使我們能夠找到 $ \Pi $ .為了形成對沖投資組合，首先將伊藤引理應用於衍生品的價值， $ V_1=V_1(x_t,t) $ 我們必須區分 $ V_1 $ 關於變數 $ t $ 和 $ x $ ,結果是 $ dV_1 $ 遵循流程 $$ \begin{align} dV_1=\frac{\partial V_1}{\partial t}dt+\frac{\partial V_1}{\partial x}dx+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 V_1}{\partial x^2}dx,x \end{align} $$ 換句話說 $$ \begin{align} dV_1=(\frac{\partial V_1}{\partial t}+3\frac{\partial V_1}{\partial x}+2x_t\frac{\partial^2 V_1}{\partial x^2})dt+2\sqrt x_t \frac{\partial V_1}{\partial x}dW_t \end{align} $$ 我已經使用了這樣一個事實 $ dx,x=(2\sqrt x_t\ dW_t)(2\sqrt x_t\ dW_t)=4x_t dt $ , $ dt,dW_t=0 $ 和 $ dt,dt=0 $ . 那麼投資組合價值可以寫成 $$ \begin{align} &d,\Pi=(\frac{\partial V_1}{\partial t}+3\frac{\partial V_1}{\partial x}+2x_t\frac{\partial^2 V_1}{\partial x^2})dt+2\sqrt x_t \frac{\partial V_1}{\partial x}dW_t\ &,,,,,,,,,,-(\frac{\partial V_2}{\partial t}+3\frac{\partial V_2}{\partial x}+2x_t\frac{\partial^2 V_2}{\partial x^2})dt-2\sqrt x_t \frac{\partial V_2}{\partial x}dW_t\ \end{align} $$ 為了使投資組合對沖波動，維納過程在這個等式中的最後兩項必須為零。這意味著對沖參數必須是 $$ \begin{align} \frac{\partial V_1}{\partial x}=\frac{\partial V_2}{\partial x} \end{align} $$ 然後 $$ \begin{align} &d,\Pi=(\frac{\partial V_1}{\partial t}+2x_t\frac{\partial^2 V_1}{\partial x^2})dt\ &,,,,,,,,,,-(\frac{\partial V_2}{\partial t}+2x_t\frac{\partial^2 V_2}{\partial x^2})dt\ \end{align} $$ 投資組合賺取無風險利率的條件， $ S^0=1 $ , 意味著投資組合價值的變化是 $ d,\Pi=S^0,\Pi dt $ $$ \begin{align} d,\Pi=S^0,\Pi,dt=\Pi,dt=(V_1-V_2)dt \end{align} $$ 通過組合這些方程，我們有 $$ \begin{align} \frac{\partial V_1}{\partial t}+2x_t\frac{\partial^2 V_1}{\partial x^2}-V_1=\frac{\partial V_2}{\partial t}+2x_t\frac{\partial^2 V_2}{\partial x^2}-V2 \end{align} $$ 上述關係適用於任意到期日 $ T_1 $ 和 $ T_2 $ , 所以這個方程應該與成熟度無關 $ T $ 。然後 $$ \begin{align} \frac{\partial V}{\partial t}+2x_t\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}-V=\lambda \end{align} $$
如果貨幣市場利率始終為 0，則債券的定價也為 1，沒有套利。但是，如果您必須完成所有測量更改練習…
將零債券定價為衍生品：令 B(t,S) 為債券價格作為 S 的函式。我們知道 $ B(T, S_T) =1 $ . 為了給任何衍生品定價，我們將使用鞅定價：
$ \frac{B(t_0)}{N(t_0)} = E^Q \frac{B(T)}{N(T)} $ 其中 N(t) 是我們的計價單位。
我們將以貨幣市場賬戶作為我們的計價單位。請注意，由於在此範例中無風險利率始終為零，因此我們有 $ dN = 0 dt = 0 $ .
貼現股票的動態由下式給出： $ d\frac{S}{N} = \frac{1}{N}dS - \frac{S}{N^2}dN = \frac{dS}{N} = dS $ ，因為對於所有 t，N(t) =1。
我們將度量從 P 更改為 Q 以使 $ d\frac{S}{N} $ 鞅。在這種情況下，它相當於製作 $ dS $ 鞅。我們應用 girsanov 並最終得到 $ dS = dW^Q $ .
$ B(t_0) = E^Q(B(T)) = \int 1 dW^Q = 1 $
（Bjorks 書的第 11 章對 girsanov 來說是很好的參考）。