給定擬線性函式中的收入效應是否等於 0？
給我的效用函式如下，$$ u(x,y) = x+4 \sqrt{y} $$這是一個簡單的擬線性函式。給定的價格向量發生了變化， $ (p_x,p_y) = (1,1) \to (0.25,1) $ ，和收入，M=1。該問題詢問使用希克斯方法的替代和收入效應的絕對值。
以任何方式接近這一點都會導致需求 $ (x^* , y^) = (0,1) $ , 消費者更願意消費 $ y^ = 4 $ 但由於給定預算無法負擔得起，因此消費者最初會選擇消費所有 y 而不消費 x。
在進一步解決後，我得到 $ SE= 3 $ 和 $ ME=15 $ 但擬線性情況下的收入效應始終為零。
誰能幫我解決這個問題？
首先讓我們考慮以下問題： $$ \begin{eqnarray*} \max_{(x, y) \in \mathbb{R}^2_+} & x + 4\sqrt{y} \ \text{s.t.} \ & p_Xx + p_Yy \leq M\end{eqnarray*} $$ 上述問題的解決方案稱為需求，它由下式給出 $$ \begin{eqnarray*} (x^d, y^d) (p_X, p_Y, M) = \begin{cases} \left(0, \frac{M}{p_Y}\right) &\text{if } \frac{M}{p_Y} \leq \frac{4p_X^2}{p_Y^2} \ \left(\frac{M}{p_X}-\frac{4p_X}{p_Y}, \frac{4p_X^2}{p_Y^2}\right) &\text{if } \frac{M}{p_Y} > \frac{4p_X^2}{p_Y^2}\end{cases} \end{eqnarray*} $$ 要查看如何找到它，過程類似於此：https ://economics.stackexchange.com/a/16475/11824
現在讓我們考慮以下問題： $$ \begin{eqnarray*} \min_{(x, y) \in \mathbb{R}^2_+} & p_Xx + p_Yy \ \text{s.t.} \ & x + 4\sqrt{y} \geq \mu\end{eqnarray*} $$ 上述問題的解決方案稱為希克斯需求，它由下式給出 $$ \begin{eqnarray*} (x^h, y^h) (p_X, p_Y, \mu) = \begin{cases} \left(0, \frac{\mu^2}{16}\right) &\text{if } \frac{p_X}{p_Y} \geq \frac{\mu}{8} \ \left(\mu-\frac{8p_X}{p_Y}, \frac{4p_X^2}{p_Y^2}\right) &\text{if } \frac{p_X}{p_Y} < \frac{\mu}{8}\end{cases} \end{eqnarray*} $$
所以，總價格效應 $ = (x^d, y^d)(0.25,1,1) - (x^d, y^d)(1,1,1) = \left(3,\frac{1}{4}\right) -(0,1) = \left(3, -\frac{3}{4}\right) $
初始滿意度為 $ \mu = u(0,1) = 4 $ .
現在我們可以使用 Hicksian 方法找到收入和替代效應：
希克斯SE $ =(x^h, y^h)(0.25, 1, 4) - (x^d, y^d)(1,1,1) = \left(2,\frac{1}{4}\right)-(0,1) = \left(2, -\frac{3}{4}\right) $
希克斯IE $ = (x^d, y^d)(0.25,1,1)-(x^h, y^h)(0.25, 1, 4) = \left(3,\frac{1}{4}\right)-\left(2, \frac{1}{4}\right) = (1,0) $