具有記憶保存的反向價格時間序列

在**《金融機器學習的進展》中**，作者在第 5 章中提出了價格回報的分數差異化案例。原因是既要保持記憶，又要生成平穩的時間序列。作者認為價格的一階導數，價格回報，實現平穩但經歷記憶喪失。他定義了 backshift 運算符 $ B $ 作為

$ B^{k}X_{n} = X_{n-k} $

然後對此應用二項式展開

$ (1-B)^{d} = \sum_{n=1}^{\infty} {d \choose k} (-B)^{k} $

這與當 d 為正實數時如何保留記憶有關

$ \hat X_{t} = \sum_{k=0}^{\infty} w_{k} X_{t-k} $

哪裡的權重， $ w $ 使用相同的二項式方法展開 $ B $

除了二項式展開之外，它們之間的關係是什麼 $ B $ 和 $ w $ 和圖表的相關性？

這是圖表的標題

圖 5.1 𝜔k（y 軸）隨著 k 增加（x 軸）。每條線都與 d ∈ 的特定值相關聯

$$ 0,1 $$, 以 0.1 為增量。

除了二項式展開之外，它們之間的關係是什麼 $ B $ 和 $ w $ ?

正如我正確理解的那樣，滯後運算元之間沒有直接關係 $ B $ 和權重 $ w $ . 然而，從分數差分運算元出發， $ (1-B)^d $ 到 $ \hat{X}t $ 可以按如下方式完成： $$ \begin{align} (1-B)^d X_t &= \sum{k=0}^{\infty} \begin{pmatrix} d \ k\ \end{pmatrix} (-B)^k \cdot X_t\ &=X_t \sum_{k=0}^{\infty} (-B)^k \prod_{i=0}^{k-1}\frac{d-i}{k-i}\ &= X_t \left(1-d\cdot B + \frac{d(d-1)}{2!}B^2 - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!}B^3 + \cdots\right)\ &= X_t - d\cdot X_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} X_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} X_{t-3} + \cdots \ &= \sum_{k=0}^{\infty} \omega_kX_{t-k}\ &= \hat{X}t \end{align} $$ 在哪裡 $ \omega=\left{1,-d,\frac{d(d-1)}{2!},-\frac{d(d-1)(d-2)}{3!},\ldots\right} $ 如前所述，是二項式展開。此外，我們使用了（根據定義）應用於 $ X_t $ ，即 $ B^k X_t = X{t-k} $ , 在倒數第二個等式中。我相信作者的意圖是簡化符號並將其重新表述為更能被金融界人士認可的東西。

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圖表的相關性是什麼？

該圖顯示了記憶體保留（根據 $ k $ 包括對數價格的滯後， $ X_{t-1},X_{t-2},\ldots $ 用於區分價格過程）的分數差分過程，對於不同的值 $ d\in [0,1] $ . 如圖所示，一階差分價格過程存在記憶體截止（ $ d=1 $ )，從某種意義上說，在將過程轉換為平穩時間序列時，忽略了先前價格的歷史。這也是使用分數差分 (FD) 的動機之一，因為對數價格 $ X_t $ ，取決於許多先前的滯後，而不僅僅是第一個滯後， $ X_{t-1} $ . 為了保留這種依賴結構（記憶），我們求助於FD $ d<1 $ . 如果我們描述兩個值的分​​數微分收益 $ d={0.5,1} $ 你得到： $$ \begin{align} &d=1: \qquad ; : : \hat{X}t=X_t - X{t-1}\ &d=0.5: \qquad \hat{X}t=X_t - 0.5X{t-1} - 0.125 X_{t-2} - 0.0625 X_{t-3} -\cdots, \end{align} $$ 並最終為 $ d=1 $ ，我們有對數價格的標準一階差分，並且清楚地看到了一個截止點 $ k=2 $ ， 自從 $ \omega_k=0 $ 對全部 $ k\geq 2 $ . 這不會發生 $ d=0.5 $ ， 自從 $ \omega = {1,-0.5,-0.125,-0.0625,\ldots} $ .

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額外資訊：在他的一張幻燈片中，他認為通過選擇 $ d $ 因此。但是，如他自己的範例所示（範例 2：他使用 Augmented Dickey-Fuller 測試來測試不同值下的時間序列 $ d $ ), 的選擇 $ d $ 顯然對資產和資產類別的選擇很敏感。這使得很難確定一種最佳選擇 $ d $ ，如果您是使用大量資產的投資組合經理。

我希望這有幫助！

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/63352