計算投資組合偏度和峰度
我需要計算 2 個資產組合的偏度和峰度，有人可以幫我計算公式和術語定義嗎？謝謝你。
我一直在使用矩陣方法，我不確定這是否正確。
“偏度”量化了分佈關於均值的不對稱程度。“峰度”量化分佈的峰值或平坦程度。
偏度定義為：
$ E[ (X - mean)^3 ] = \frac{(\sum (x_i - x_{mean})^3 )}{N} $
峰度為：
$ E[ (X - mean)^4 ] = \frac{(\sum (x_i - x_{mean})^4 )}{N} $
其中 X 是您的發行版值 (x_1, x_2, … x_N)，均值是您的發行版值 X (x_mean, 一個常數) 和 E 的平均值
$$ f(X) $$是 f(X) 的期望值 - 即 f(X) 的平均值。 所以現在你需要定義你的分佈。老實說，我不知道給定資產的標準是什麼，但我想如果你的資產價格變動是〜對數正態，那麼你會想要投資組合價值的每日（或其他）百分比變化。這些每日 %age 變化定義了您的分佈 X。當然，您需要考慮回溯多長時間：1 個月的數據？1年？。所以每天的 %age 變化都是你的 x_i。根據上面的公式計算平均值（可能接近於零），然後計算偏度和峰度。
假設您有返回時間序列
$$ r_1(1), r_1(2), \ldots, r_1(T) \qquad \text{and} \qquad r_2(1), r_2(2), \ldots, r_2(T) $$ 對於 2 個資產和資產權重 $ w_1 $ 和 $ w_2 $ ，我們可以按照計算 $ N $ 資產組合偏度在類似問題的另一個答案中列出。 要將其擴展到包括投資組合峰度，我們需要協峰度張量
$$ K_{ijkl} = E \left[ r_i \times r_j \times r_k \times r_l \right] = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T r_i(t) \times r_j(t) \times r_k(t) \times r_l(t) $$ 和時刻 $$ m_4 = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N \sum_{l=1}^N w_i w_j w_k w_l K_{ijkl} \quad, $$ 那麼我們可以計算投資組合峰度為 $$ K_p = \frac{1}{\sigma_p^4} \left[ m_4 - 4 m_3 m_1 +6 m_2 m_1^2 - 3m_1^4 \right] \quad. $$ 在 2 資產組合的情況下，高階張量的計算並不那麼令人生畏，至於 $ 2 \times 2 \times 2 $ 我們只需要計算 co-skewness tensor
$$ \begin{split} S_{111} & \ S_{112} &= S_{121} = S_{211} \ S_{122} &= S_{212} = S_{221} \ S_{222} & \end{split} $$ 並且對於 $ 2 \times 2 \times 2 \times 2 $ co-kurtosis tensor 我們只需要計算 $$ \begin{split} K_{1111} & \ K_{1112} &= K_{1121} = K_{1211} = K_{2111} \ K_{1122} &= K_{1212} = K_{1221} = K_{2112} = K_{2211} \ K_{1222} &= K_{2122} = K_{2221} = K_{2212} \ K_{2222} & \end{split} $$