GBM 的校準 - dt 應該是什麼？
我有一個時間序列的每日數據，我想校準 GBM 參數 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 到。使用離散化解決方案
$$ S_{t_{i+1}} = S_{t_i}\exp\left(\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta{}}Z_{i+1}\right), $$ 校準參數 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 到給定的時間序列 $ n $ values 原來是簡單的計算 $$ \sigma = \frac{std(R)}{\sqrt{\Delta t}}, \qquad \mu = \frac{\mathbb{E}[R]}{t} + \frac{\sigma^2}{2}, $$ 在哪裡 $ R $ 是帶有分量的對數返迴向量 $ R_{i+1} = \log S_{t_{i+1}} / S_{t_i} $ , $ 1 \leq i \leq n-1 $ . 術語 $ std(R) $ 表示標準差 $ R $ .
現在，時間步 $ \Delta t = t_{i+1} - t_i $ 應該是系列中值之間的時間長度。回想在“最終”時間評估的 GBM 的封閉式解決方案 $ T $ 是
$$ S_T = S_0\exp\left(\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma W(T)\right). $$ 因此，如果我的每日價格的時間序列歷史正好跨越一年（比如 2013 年 10 月 28 日 - 2014 年 10 月 28 日），應該怎麼做？ $ T $ 和 $ \Delta t $ 是？此外， $ n=253 $ 在我的系列中，即使日期涵蓋 365 天。 一些結果：使用上面給出日期的天然氣期貨價格。
$ T = 1 $ 和 $ \Delta t = 1/365 $ ，我得到 $ \sigma = 0.32 $ 和 $ \mu = 0.07 $ .
$ T = 1 $ 和 $ \Delta t = 1/253 $ ，我得到 $ \sigma = 0.27 $ 和 $ \mu = 0.05 $ .
$ T = 365 $ 和 $ \Delta t = 1 $ ，我得到 $ \sigma = 0.02 $ 和 $ \mu = 0.0002 $ .
$ T = 253 $ 和 $ \Delta t = 1 $ ，我得到 $ \sigma = 0.02 $ 和 $ \mu = 0.0002 $ （和之前一樣）。
對於我的時間序列，前兩個似乎更合理。有什麼想法嗎？
第二個將是最好的估計。此外，較小的時間步長通常對應於較小的偏差。但我同意，答案並不明顯。
你應該小心增加 $ T $ 但是，因為對於負漂移有一個門檻值（ $ 2\mu + \sigma^2 < 0 $ ) 超出此價格過程的變異數停止增加。這是一個有趣的證明。
在 GBM 公式中，時間以年的分數表示。所以， $ T=1 $ 年和 $ \Delta t = 1/m $ . 考慮到你有 $ 253 $ 觀察，我會用 $ m = 253 $ ，所以德魯建議的第二個選項。
一般來說，一年中使用 253 天還是 365 天取決於您如何看待現實：您認為當市場休市時（即周末）價格會發生變化嗎？一般來說，確實如此：市場關閉時可能會發生可能改變價格的事件 $ S $ . 在實踐中，使用工作日數（ $ 253 $ 在你的情況下）或 $ 365 $ 在大多數應用程序中沒有太大變化。