為共同基金績效評估選擇正確的統計測試
你建議我怎麼做？
我想進行統計測試以檢查是否：
- 所有基金的總 alpha 等於 0。
- 所有基金的總貝塔係數等於 1。
數據
- 1990 年至 2017 年期間 1000 隻共同基金的樣本。我根據 Carhart (1997) 四因子模型回歸基金每月超額收益超過無風險利率。
困境
因為我單獨對風險參數的資金進行回歸。現在我有 1000 個 alpha，1000 個 beta，…
軟體
- 曾是
我打算怎麼做
- 我根據風險因素單獨回歸每個基金的超額收益；並儲存回歸係數（alpha、beta、smb、hml 和 mom）及其標準誤差以計算係數的 t 統計量。
定義超額收益 $ r^x_{it} = r_{it} - r^f_{t} $ 作為回報 $ i $ 減去無風險利率，以及 $ f_{jt} $ 同樣表示要素的超額收益 $ j $ 有時 $ t $ . 假設我們有一些回報因子模型，其中：
$$ r^x_{it} = \alpha_i + \sum_j \beta_{i,j} f_{jt} + \epsilon_{it} $$ F 檢驗/GRS 檢驗
如果我們假設誤差項 $ \epsilon_{it} $ 服從正態分佈，隨時間不相關，並且是同變異數的，標準 F 檢驗可用於假設 $ \alpha_i = 0 $ 對所有人 $ i $ . 財務部門將此稱為 Gibbons、Ross 和 Shanken 的 GRS 測試，他們最初將其應用於資產定價。統計學家可能會將其視為F 檢驗的一種形式。遵循與 Cochrane (2005) 中類似的符號：
- 讓 $ \tau $ 是數據的時間段數。
- 讓 $ \Sigma_f $ 做一個 $ k \times k $ 因子的樣本共變異數矩陣。
- 讓 $ \Sigma $ 豆 $ n \times n $ 殘差的樣本共變異數矩陣 $ \epsilon_{it} $ .
- 讓 $ \boldsymbol{\alpha} = \begin{bmatrix}\alpha_1 \ \ldots \ \alpha_n \end{bmatrix} $ 成為你的阿爾法的向量。
- 讓 $ \boldsymbol{\mu_f} $ 做一個 $ k \times 1 $ 向量給出因子的樣本平均回報。
GRS 檢驗統計量由下式給出：
$$ f_{GRS} = \left( \frac{\tau - n - k}{n}\right) \frac{\boldsymbol{\alpha}’ \Sigma^{-1} \boldsymbol{\alpha}}{ 1 + \boldsymbol{\mu_f}’ \Sigma_f^{-1} \boldsymbol{\mu_f}} $$ 檢驗統計量 $ f_{GRS} $ 遵循 $ F $ 分配： $$ f_{GRS} \sim F\left(n, \tau - n - k \right) $$
$ \chi^2 $ 測試
放棄正態分佈誤差項的假設，存在一個漸近接近的檢驗統計量 $ \chi^2 $ 分配。讓 $ n $ 是測試資產的數量，讓 $ T $ 是時間段的數量。定義檢驗統計量 $ J $ 作為：
$$ J = T \frac{\boldsymbol{\alpha}’ \Sigma^{-1} \boldsymbol{\alpha}}{ 1 + \boldsymbol{\mu_f}’ \Sigma_f^{-1} \boldsymbol{\mu_f}} $$ $ J $ 遵循 $ \chi^2 $ 分佈與 $ n $ 自由程度： $$ J \sim \chi^2\left(n \right) $$Cochrane (2005) 展示瞭如何將檢驗統計量推導為Sargan-Hansen J 檢驗 的一個特例。您也可以在這裡查看 Cochrane 的筆記。
共線殘差
如果你的一些測試回報基本上是相同的回報，那麼你將有一個排名不足 $ \Sigma $ 矩陣。使用偽逆 $ \Sigma^+ $ 而不是逆 $ \Sigma^{-1} $ 並使用 $ n $ 作為線性獨立資產的數量。這個 $ n $ 可以通過進行奇異值分解來估計 $ \Sigma $ 併計算高於某個門檻值的奇異值的數量。（這就是 MATLAB 和其他一些包估計矩陣秩的方式。）
討論：
通常，您通過這些 F 測試中的任何一個或 $ \mathcal{X}^2 $ 測試是壓倒性地拒絕所有 alpha 為零的假設。這意味著什麼？
一種可能性是回報模型指定錯誤，Carhart 四因子模型或您使用的任何模型都不能完美地描述回報的聯合分佈。這些因子模型有點工作（從某種意義上說它們很有用），但它們也不是那麼精確。
如果您發現共同基金相對於該資產定價模型的 alpha 非零，這是否意味著：
- 一些共同基金有積極的技能（和/或一些有消極的技能）？
- 我們有錯誤的資產定價模型？
兩者並沒有真正的區別。
Box還有一句名言，所有模型都是錯誤的，但有些是有用的。一般來說，您可以統計拒絕任何具有正確測試資產的資產定價模型。該模型是否有用是一個更細微的討論。
測試貝塔？
您似乎想測試價值權重市場貝塔值 1？我不明白這有什麼用。機械地，所有證券的價值權重市場貝塔必須是一！我正在努力看看這會有什麼用？
自舉
創建一致的測試統計數據的另一種方法是自舉。
例如，Fama 和 French (2010) 建構了在 Fama French 三因子模型下假設 alpha 為零的情況下預期共同基金回報分佈的引導模擬。
參考
Cochrane, John，資產定價，2005 年，第 230連結
Fama、Eugene 和 Kenneth French，“互惠基金回報橫截面中的運氣與技巧”，金融雜誌
好吧，一個人也可以確定你的分佈是什麼 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 係數，並找出哪些基金在整體分配方面表現出色。如果沒有對係數的分佈假設，您將無法測試任何內容。