VAR 過程中的可預測性是否意味著回歸或動量？
對此，文獻中似乎存在一些分歧。將平穩序列的可預測性定義為 $ \sigma^2_{t-1} / \sigma^2_t $
使用典型相關分析來尋找均值回复投資組合意味著最小化可預測性，同時也可以使用典型相關分析通過最大化可預測性來搜尋具有強大動量的投資組合。
https://www.di.ens.fr/~aspremon/PDF/MeanRevVec.pdf
辨識最優稀疏均值回歸投資組合的傳統方法是找到一個投資組合向量，使其可預測性最大化。
https://content.iospress.com/download/algorithmic-finance/af021?id=algorithmic-finance%2Faf021
這種投資組合可預測性背後的直覺是，這個比率越大，越 $ s_{t−1} $ 主導雜訊，因此更可預測 $ s_{t} $ 變成。因此，我們將使用該度量作為投資組合均值回歸參數的代理 $ \lambda $ 在（1）中。最大化該表達式將產生以下優化問題，以找到最佳投資組合向量 $ x_{opt} $
https://content.iospress.com/download/algorithmic-finance/af026?id=algorithmic-finance%2Faf026
就個人而言，我看不出有任何理由說明可預測的時間序列必然是趨勢或均值回歸。
混淆點可能在於認為可預測的價格過程與均值回復過程同義，而使用這些論文中的定義，實際上恰恰相反！在這些論文的上下文中，隨機遊走將是 100% 可預測的：隨機遊走的不可預測部分（即具有有限變化的特定時期衝擊）包含過程總變化（無限）的 0%。
一些更廣泛的注意事項
當作者給英語單詞的數學定義可能與該單詞在英語或特定領域的常用用法不完全一致時要小心。
此外，可預測的與可利用的不同。您可以使用有關球隊相對實力的資訊來預測拉斯維加斯的體育投注線。這與體育博彩線是否可利用不同！
回到這個案例…
考慮一個 AR(1)：
$$ x_t = b x_{t-1} + \epsilon_t $$
- $ b=1 $ 在衝擊是完全持續的意義上，沒有均值回歸。從某種意義上說，它也是最可預測的，因為 $ b \rightarrow 1 $ ，可預測的過程總變異部分也達到 100%。
- $ b=0 $ 完全是短暫的衝擊，從這個意義上說，是最平均的回歸。總是期望回到無條件的平均值！從可以預測 0% 的過程變化的意義上說，它也是最不可預測的。
對於 AR(1) 結構，衝擊以簡單的指數方式衰減。使用更高階的滯後（這些論文沒有這樣做），您可以得到更複雜的行為，例如周期，並且在某些時候，進一步遠離均值的預測。
這些論文假設價格是一個平穩過程（而不是包含單位根），並且價格過程採用簡單的 1 滯後自回歸結構。（我將迴避整個討論是否以及何時有用或現實。）
箱和條分解
讓 $ {z_t} $ 是一個平穩的過程。定義 $ \hat{z}{t-1} $ 作為期望 $ z_t $ 根據 $ t-1 $ 資訊： $$ \hat{z}{t-1} = \mathbb{E}[ z_t \mid z_{t-1}, z_{t-2}, \ldots ] $$ 然後 Box 和 Tiao 分解總變異 $ \sigma^2_z $ 變成可預測的組件（超前預測） $ \sigma^2_\hat{z} $ 和不可預知的成分 $ \sigma^2_\epsilon $ : $$ \underbrace{\mathbb{E} \left[ z_t^2 \right]}{\sigma^2_z} = \underbrace{\mathbb{E}\left[ \hat{z}{t-1}^2\right]}{\sigma^2{\hat{z}}} + \underbrace{\mathbb{E}[\epsilon^2_t]}{\sigma^2\epsilon} $$
然後他們定義可預測性比率 $ \lambda = \sigma^2_\hat{z} / \sigma^2_z $ . 如果 $ \lambda = 0 $ ，總變化中沒有一個來自超前預測的變化。如果 $ \lambda \approx 1 $ ，那麼幾乎所有的總變化都來自超前預測。
簡單的 AR(1) 案例（這些論文中的有效內容）
假設我們有一個簡單的、均值為零的 AR(1)：
$$ x_t = b x_{t-1} + \epsilon_t $$
認為 $ -1 < b < 1 $ 所以這個過程是靜止的。無條件變異數是 $ \sigma^2_x = \frac{1}{ 1 - b^2}\sigma^2_\epsilon $ . Box Tiao 分解為：
$$ \underbrace{\frac{1}{ 1 - b^2}\sigma^2_e}{\sigma^2_x} = \underbrace{\frac{b^2}{1 - b^2}\sigma^2\epsilon}{\sigma^2\hat{x}} + \sigma^2_\epsilon $$
可預測性比率為： $$ \lambda = b^2 $$
討論
均值回歸不是一個精確定義的術語。
使用典型相關分析尋找均值回歸投資組合意味著最小化可預測性……
$ b=0 $ 在以下任一意義上都具有較高的均值回歸：（1）超前預測始終是無條件均值或（2）衝擊完全是暫時的。 $ b = 0 $ 導致 $ \lambda = 0 $ ，最小可預測性。
…通過最大化可預測性，也可以使用典型相關分析來搜尋具有強勁動力的投資組合。
什麼時候 $ b $ 接近於 1，這個過程接近於隨機遊走。作者似乎在稱這種勢頭。我發現“動量”的使用相當成問題。
辨識最優稀疏均值回歸投資組合的傳統方法是找到一個投資組合向量，使其可預測性最大化。
請注意，在價格 AR(1) 的背景下，最大化可預測性意味著找到一個盡可能緩慢地向其無條件平均價格衰減的價格過程。價格的隨機遊走將具有最大的可預測性（價格）。
這種投資組合可預測性背後的直覺是，這個比率越大，越 $ s_{t−1} $ 主導雜訊，因此更可預測 $ s_{t} $ 變成。因此，我們將使用該度量作為投資組合均值回歸參數的代理 $ \lambda $ 在（1）中。最大化該表達式將產生以下優化問題，以找到最佳投資組合向量 $ x_{opt} $ .
正如我之前討論過的 $ \lambda = b^2 $ 在 AR(1) 上下文中。
參考
Box、GEP 和 GC Tiao，“多時間序列的典型分析”，1977 年，Biometrika