時間齊次馬爾可夫過程的非增變異數範例
這是對上一個問題的編輯，關於固定過程，下面由 Richard 回答。
讓 $ x_t $ 是隨時間變化的零均值、時間齊次馬爾可夫過程 $ t $ 從…開始 $ x_0=0 $ . 有哪些例子 $ x_t $ 變異數在哪裡 $ t $ 不會增加 $ t $ ?
1）在離散時間和離散狀態下，以下是一個非常簡單的範例，其中變異數隨時間週期性地振盪。
$$ x_{t+1} = \eta(1-|x_t|),, x_0=0;, \eta\in{-1,1},\mbox{ with probability of } \frac{1}{2} \mbox{ on each value of }\eta. $$ 2）在連續時間但不連續的路徑設置中，下面的跳躍擴散過程是正確的例子嗎？
$$ dx_t = -\alpha x_t dt+dz_t+ y\eta dN_t,, x_0 = 0, $$ 在哪裡 $ \alpha\gg 0 $ , $ z_t $ 是具有均值的標準布朗運動 $ 0 $ 和標準差 $ t $ , $ N_t $ 是有頻率的Poisson過程 $ 0<\lambda\ll 1 $ , $ \eta $ 接受價值觀 $ -1 $ 或者 $ 1 $ 和 $ 0.5 $ 每個機率， $ z_{t_1} $ , $ N_{t_2} $ 和 $ \eta $ 在任意位置相互獨立 $ t_1 $ 和 $ t_2 $ , 和常數 $ y\gg 1 $ . 再想一想，這不是一個正確的例子。可以解這個方程，就會發現這個過程的變異數是來自的變異數之和 $ dz_t $ 那從 $ dN_t $ 由於他們的獨立性。我們將不得不使跳躍與 $ z_t $ .
更好的設置是轉移 $ x_t $ 越過障礙直接回到 $ x=0 $ 線。因此，該過程駐留在沿經度接觸的兩個圓柱體的拓撲結構上。但是，在我看來，即使這樣設置 $ x_t $ 無論是標準的 Browniam 運動還是沒有任何跳躍過程的均值回復運動，其變異數仍會隨時間增加。
因此，我在這個設置中仍然沒有一個有效的例子。
3）連續路徑的例子是什麼？我懷疑這是不可能的。如果確實不可能，誰能證明這一點？
這是問題的第一個版本的答案，該問題詢問平穩過程是否隨著時間的推移而增加變異數。
沒有（弱）平穩（http://en.wikipedia.org/wiki/Stationary_process）的定義是每個時間點的變異數是相同的。
在文獻中，它經常涉及共變異數函式。對於平穩時間序列，之間的共變異數 $ X_t $ 和 $ X_s $ 只取決於時間跨度 $ |t-s| $ . 對於變異數 $ X_t $ 我們有 $ t-s=0 $ .