為什麼 EMA（指數移動平均線）的平滑係數計算為：

$$ {\displaystyle \alpha =2/(N+1)}? $$

Brown RG 在“離散時間序列的平滑、預測和預測 (1963)”的第 107 頁上使用以下推導給出了他所謂的數據集平均年齡的解釋：

(1)$$ avg=0\alpha+1\alpha\beta+2\alpha\beta^2+… $$ (2)$$ avg=\alpha\sum_{k=0}^{\infty}k\beta^k $$ (3)$$ avg=\frac{\beta}{\alpha} $$

然後他接著說，如果希望數據集 (3) 的指數平均年齡與簡單（N 個數據點）移動平均線相同，您只需要求解方程：

$$ {\displaystyle \beta/\alpha =(N-1)/2}? $$

或者用簡單的英語：

數據的指數平均年齡 = 數據的簡單 N 平均年齡。

一切都很好，但我無法彌合方程 2 和 3 之間的差距，他是如何將冪級數解為那個分數的？

筆記：

“平均年齡是每條數據使用的年齡的平均值，加權為該年齡的數據會被加權。在指數平滑過程中，給定k個週期前的數據的權重為：

$$ \alpha\beta^k, \beta=(1-\alpha) $$

彌合等式 2 和 3 之間的差距：

讓我們使用無限級數的事實 $ \sum_{k=0}^\infty k \cdot \beta^k $ 有一個封閉形式的解決方案（見this post for proof）：

$$ \sum_{k=0}^\infty k \cdot \beta^k = \frac{\beta}{(1-\beta)^2}, $$

什麼時候 $ |\beta| = |1-\alpha|<1 $ 或者 $ \alpha < 1 $ , 無窮級數收斂到上述結果。

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現在，讓我們再分幾步計算平均值：

$$ \begin{align} \bar{k} &= \alpha \sum_{k=0}^\infty k \cdot \beta^k \ &= \alpha \cdot \frac{\beta}{(1-\beta)^2} \ &= \alpha \cdot \frac{\beta}{\left(1-(1-\alpha)\right)^2}\ &= \alpha \cdot \frac{\beta}{\alpha^2}\ &= \frac{\beta}{\alpha} \end{align} $$

我希望這能澄清一些事情。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/68943