從雜訊數據中提取信號
考慮一個場景，其中 Y_t 表示價格變化的百分比，我們希望使用 X_t 來預測 Y_t。我們假設 X_t 是我們在 Y_t 被揭示之前獲得的資訊。
假設實際上 Y_t = 0.01*X_t + e_t (beta = 0.01)，其中 e_t ~ N(0,1)。此外，X_t ~ N(0,1)。假設我們有 1000 個歷史數據點要測試。這會在模擬 1000 次估計時生成 beta 分佈：
幾個問題：
1）這種方法在金融領域是一種可行的賺錢策略嗎？首先，我所做的假設已經非常樂觀（Y_t，X_t 超過 1000 個樣本，並且真正的關係是線性的）。然而，由於雜訊，估計參數的變異數非常高，40% 的參數是錯誤的符號。添加更多 rhs 變數可能只會使情況變得更糟。
即使假設我們得到 beta = 0.01，信號也非常小，以至於當策略表現不佳時，我們將有很高的錯誤率錯誤地拒絕我們的信號。
2）什麼是可能的解決方案？如果我們有足夠的數據（HFT？），我們可以精確地估計小信號。如果我們正在查看較低頻率的時間序列（每日數據？）怎麼辦？尋找具有更高 beta 的 Z_t 的另一種解決方案是什麼？但是，鑑於市場相對有效，為什麼還要繼續存在大貝塔呢？我們是否需要在回歸的 RHS 中添加更多低信號變數（但這只會增加變異數）？
另一種獲得更高“beta”的方法似乎是 stat arb？如果 Y_t 和 X_t 是協整價格序列的同期股票價格，我們可以預期 beta 大到足以更精確地估計（相對於它的大小）。然而，我已經讀到（雖然我顯然沒有第一手經驗）統計套利利潤一直在下降，因為現在每個人都知道這個想法。
是的，這些是賺錢策略的基本組成部分。
為了部分解決您提到的問題（小/低正均值/具有大標準誤差的利潤），您可以同時調查許多資產。這個想法是利用中心極限定理。
假設每個資產的信號都是獨立同分佈的，並且每個信號 $ i=1,2,.., N $ 可以讓你賺錢 $ r_t^{(i)} \sim \mathbb{N}(\mu, \sigma^2) $ 如果你完全投資於那個信號，在哪裡 $ \mu $ 與 $ \sigma $ . 中心極限定理告訴我們
$$ \sum_{i=1}^N \frac{1}{N} r_t^{(i)} \sim \mathbb{N}(\mu, \sigma^2/N) $$ 所以現在你的投資組合利潤不會受到傷害，但標準誤差要小得多 $ \sigma^2/\sqrt{N} $ . 服用 $ N $ 到一個很大的值，比如 1000，並通過戰略性地利用槓桿，您可以使您的投資組合利潤具有吸引力，同時將波動性降低到可管理的水平。
你估計一個模型
$$ Y_t = \beta X_t + \epsilon_t. $$ 這只是時間序列回歸。 關於您的問題 1）：通常會查看股票指數的單個證券的貝塔值（請參閱 CAPM）。高貝塔值（高於 1）將表明股票的漲跌幅度超過市場。
其他估計 beta 的方法是對沖。如果你有安全感 $ X $ 和一個安全 $ Y $ 你想知道有多少圖片 $ X $ 你需要對沖 $ Y $ （即最小化 $ |\beta X-Y|^2 $ ) 那麼你就可以參加測試版了。
直接用回歸係數beta賺錢：我真的會說不。如果 beta 太小：完全忘記模型（期望什麼？）。
對於 2)：估計 beta 是非常基本的。如果有利潤（即使是在高頻交易中），那麼其中一家大公司已經這樣做了。