時間序列
分數布朗運動 - 增量的機率密度函式
我開始研究分數積分佈朗運動的性質，但我無法弄清楚fBM過程的增量應該遵循什麼樣的分佈，以先前的觀察為條件……
例如，在研究變異數遵循 GARCH(1,1) 的 ARMA(1,1) 模型時，我們知道下一個創新的分佈 $ \epsilon_t $ ，以先前的觀察為條件，將是高斯的的，並且顯然取決於先前的創新和過程的實現；順便說一句，我仍然無法弄清楚 fBM 甚至 ARFIMA 的條件分佈。
有沒有人可以幫助我解決這個問題 - 甚至建議參考 - 涵蓋這些部分集成模型的分佈特性？
非常感謝！:)
Fink 等人對 fBM 的條件分佈進行了完整推導：“與分數布朗運動相關的過程的條件分佈”，J. Appl。機率。第 50 卷，第 1 期（2013 年），166-183。您需要的特定定理是 3.1。
您可以將分數差分運算視為“刪除”序列的長記憶體特徵的過濾過程。然而，創新的數學與任何其他 ARMA 模型相同，它們的分佈可能是高斯分佈、學生 t 分佈或任何分佈。
ARMA 模型由下式給出：
$ \Psi(L) X_{t} = \Phi(L) \epsilon_{t} $
和 ARFIMA：
$ \Psi(L) (1-L)^d X_{t} = \Phi(L) \epsilon_{t} $
唯一的區別是， $ (1-L)^{d} $ 分數差分運算應用於 $ X_{t} $ . 創新 $ \epsilon_{t} $ 仍然是 IID，這允許使用 MLE 方法來推斷參數。這 $ (1-L)^{d} $ 可以看作是具有無限滯後的 AR 過濾。將分數差異應用於系列後，您將得到一個標準的 ARMA 模型。
一本非常好的參考書，易於理解，長期記憶是這本書：
Jean Baran - 1994 年的長記憶過程統計。