GARCH 模型更適合指數而不是股票
對於標準普爾指數和摩根大通股票的每日數據，我們使用了具有 t 個分佈式創新的標準 GARCH(1,1) 模型。
**問題：GARCH 模型比股票更適合指數，是否有任何財務或統計原因？**我最初的猜測是，指數的回報比股票“表現更好”（例如，JPM 在 +20% 和 -20% 左右變化，而標準普爾在 +10% -10% 左右變化）並且因為回報數據是 GARCH 模型的輸入這將使
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為了預測波動性，我們使用了具有 t 個分佈式創新的標準 GARCH(1,1) 模型。通過公式[Math Processing Error] $ VaR_t = \hat \mu_t + t \hat \sigma_t $ 波動率預測用於計算預測的 VaR。
我們有兩個不同的數據集：標準普爾指數價格的回報和摩根大通股票價格的回報。我們對兩個回報序列使用相同的 GARCH 模型，並標記它們 $ m.index $ 和 $ m.stock $ 分別。
VaR 預測使用標準回測程序進行回測，最重要的是 Christoffersen 的獨立性測試（也稱為 cc 測試）。將此檢驗應用於我們的 VaR 預測的結果表明， $ m.index $ 好於 $ m.stock $ 關於 VaR 回測。更好，因為克里斯托弗森獨立性檢驗的 p 值是[Math Processing Error] $ 0.603 $ 為了 $ m.stock $ 但只有[Math Processing Error] $ 0.095 $ 為了 $ m.stock $ 表明當使用指數收益而不是股票收益時，VaR 違規更接近於獨立和正確的違規數量。
原因是收益和其他特殊的公司行為，如收購、主要產品發布等。
garch(1,1) 中有三個項，常數項，與前一天的波動率成比例的項，以及與“股票雜訊”成比例的項。收益躍升遠大於之前的“正常”波動，也遠大於“正常”噪音。當一隻股票跳升時，模型所解釋的回報類型不是，所以擬合度更差。
指數通過平均成分股的回報，消除了特殊的跳躍。請注意，您可以在 garch 模型中添加術語來模擬收益，這樣您就可以獲得更好的擬合，可能與指數的擬合度相當。
Jacob，您得出的結論是“主要發現是 VaR 更適合我們的指數投資組合 GSPC，而不是我們的股票 JPM。” 這個結論並不奇怪。然而，我認為這不是 VaR 本身“更適合”，而是潛在的 GARCH(1,1) 模型。您在 4.6 節中介紹了標準化誤差。這是正確的方法。我沒有深入研究你的 pdf，但我幾乎可以肯定 GARCH(1,1) 模型對指數的擬合質量在某種意義上比單一股票的相同模型更好。這就是問題所在：Kupiec 和/或 Christoffersen 檢驗的結果只是同一事物的換位。單個股票的問題不在於 VaR 本身，而在於為它找到“好模型”，如 ARMA(?,?)-GARCH(?,?)。如果你適合相同的 GARCH(1,
作為流動性，我的意思是股市中的通常意義，如這裡解釋的那樣 https://en.wikipedia.org/wiki/Market_liquidity#Stock_market 如果股票 A 的流動性低於股票 B，可能比 A 更容易找到一個好的模型對於 B。僅此而已。