漢森和賈甘納坦距離
Hansen 和 Jagannathan 距離，或 HJ 距離，用於超額測試資產回報對超額因子回報的時間序列回歸：
$ HJ = \sqrt{\alpha’(E[RR’]^{-1})\alpha} $
但是，我有點困惑這裡的 alpha 是截距項還是殘差？其次，我如何計算中間項，因為它與期望有關？
更詳細：上面的公式可以參考文件（公式4，第18頁） https://goo.gl/ZBh1Tu
此外，您可以閱讀本文第 7 頁的公式 12： https ://goo.gl/VnHZTQ
@phdstudent：當你的意思是共變異數矩陣 $ \Sigma = E[RR’] $ . 這對於顯式形式是否正確：
$ E[RR’] = \frac{(R-\bar{R})*(R-\bar{R})’}{T-1} $ 在哪裡 $ \bar{R} $ 是平均回報
順便說一句，應該 $ R $ 在這種情況下是回報還是超額回報？
如果您告訴我們該方程的來源（有多種方法可以得出 HJ 距離），則更容易回答 - 在任何情況下，您的方程的分子應該是有效投資組合的預期回報，而分母應該是預期變異數/共變異數。
讓我用更簡單的符號給你一個相同的方程（並推導出它！）。根據一價定律：
$$ \begin{equation} 1 = E [R_{i,t+1} m^\star_{t+1}] \end{equation} $$ 所以：
$$ \begin{equation} 1 = E(R_{i,t+1}) E(m^\star_{t+1}) + Corr(R_{i,t+1}, m^\star_{t+1}) Std(R_{i,t+1}) Std(m^\star_{t+1}) \end{equation} $$ 改寫上面的方程使用 $ R_{f,t+1} = 1/E(m^\star_{t+1}) $ 要得到：
$$ \begin{equation} \frac{E(R_{i,t+1}) - R_{f,t+1}}{Std(R_{i,t+1}) } \leq \frac{Std(m^\star_{t+1})}{E(m^\star_{t+1})} \end{equation} $$ 左邊的方程等價於你的方程（最大可達到的銳度比）。右邊的方程給你一個界限，所以： 經濟中的最大夏普比率受 SDF 波動率與均值的最小變異數約束！
我們如何使用這些？
- 拿 $ N $ 資產。計算超額收益。
- 估計收益的變異數共變異數矩陣 $ \Sigma = E[R R’] $ 和平均收益 $ E(R_{t+1}) $ . 通常我們通過大樣本和計算共變異數矩陣來估計第一個，而後者只是通過平均收益來估計。
- 繪製上述軌跡並與您的候選 SDF 進行比較；
軌跡應該提供如下內容：
編輯：經過上面的一些澄清。
我現在看到你的推導來自哪裡（參見Hodrick 和 Zhang的方程 10 ），這不是關於界限本身，而是關於距離。基本上，您的方程式來自解決以下問題：
$$ \begin{equation} \min_m E[(y_{t+1}-m_{t+1})^2] + 2\lambda (E[m_{t+1}R_{t+1}]-1) \end{equation} $$ 其中第一項是 JG 距離，第二項是約束。
就拿焦點而言 $ m $ 對於每項資產，您將獲得：
$$ \begin{equation} E[(y_{t+1}-m^\star_{t+1})^2] = [1-E(R_{t+1}y_{t+1})]’[E(R_{t+1}R’{t+1}][1-E(R{t+1}y_{t+1})] \end{equation} $$ 所以確實你的 $ \alpha $ 是時間序列回歸的時間序列截距，分母只是一個矩陣，其中包含所有資產收益乘積的期望值（就像均值接近零時的變異數-共變異數矩陣）。
