如何計算資產組合的偏度？
我需要計算由 6 個資產組成的投資組合的偏度。我知道為此我需要資產之間的共偏度矩陣。有人知道共偏度的公式或任何簡單的軟體來計算共偏度矩陣嗎？
任何有用的資訊將不勝感激。
實際上，共偏度由 3 階張量表示，而不是矩陣。
我將重現 Bhandari 和 Das 的公式，高階矩的投資組合期權，但我將添加和省略一些細節。
共偏度張量是
$$ S_{ijk} = E \left[ r_i \times r_j \times r_k \right] = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T r_i(t) \times r_j(t) \times r_k(t) $$ 在哪裡 $ r $ 資產回報是否超過 $ T $ 時間段。 然後，給定投資組合權重 $ w $ , 平均資產收益 $ \mu $ , 共變異數矩陣 $ \Sigma $ , 和投資組合變異數 $ \sigma_p^2(w) = w\prime \Sigma w $ ，我們計算矩：
$$ \begin{eqnarray*} m_1 & = & w\prime \mu \ m_2 & = & \sigma_p^2 + m_1^2 \ m_3 & = & \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N w_i w_j w_k S_{ijk} \end{eqnarray*} $$ 那麼投資組合偏度為
$$ S_p = \frac{1}{\sigma_p^3} \left[ m_3 - 3m_2 m_1 + 2m_1^3 \right] $$ 在 6 資產投資組合的情況下，協偏度張量將包含 216 個分量；然而，由於對稱性，它只包含 56 個獨立分量。
因此，重新制定投資組合偏度方程以提高計算效率可能會有所幫助。為此，我們可以從投資組合收益偏度的定義開始，
$$ S_p = \frac{1}{\sigma_p^3} E [ \left( \sum_{i=1}^N w_i r_i \right)^3 ] \quad , $$ 然後應用多項式定理僅根據獨立分量獲得投資組合偏度。
更新
- 特別是對於較長的時間序列，回歸矩應該以均值為中心，即 $ r_i = R_i - \bar{R}_i $
- 在每日退貨的情況下， $ R_i(t) = \frac{P(t) - P(t-1)}{P(t-1)} $ ， 在哪裡 $ P(t) $ 是當時的收盤價 $ t $ .
- 確保不同時期的退貨價格具有可比性。例如，股票價格可能需要調整以考慮股息支付。有關更多討論，請參閱此關於返回測量的問答。
*注意：*我編輯了上面的 co-skewness tensor 的方程。
看看 R 中的 PortfolioAnalytics。
> library(PerformanceAnalytics) > data(managers) > CoSkewness(managers, managers)