如何模擬協整價格
有沒有簡單的方法來模擬協整價格？
考慮一個 $ T \times N $ 潛在協整價格矩陣 $ P $ . 定義 $ Y_{t}\equiv ln\left(P_{t}\right) $ . 在多元框架中，有兩種估計協整關係的基本方法。第一個是表單的糾錯框架
$$ \Delta Y_{t} = \beta_{0}+\beta_{1}\Delta Y_{t-1}+\beta_{2}Y_{t-1}+\varepsilon_{t} $$ 在嘗試對係數進行統計檢驗時，這是最方便的。另一種方法是形式的向量自回歸模型 $$ Y_{t} = \beta_{0}+\beta_{1}Y_{t-1}+\varepsilon_{t}. $$ 出於模擬的目的，它們實際上是等效的。必須估計 $ \beta_{0} $ 和 $ \beta_{1} $ 並解決 $ \varepsilon_{t} $ . 有許多潛在的分佈假設，人們可以對 $ \varepsilon_{t} $ ，但一個簡單的方法是它遵循多元正態分佈，均值為零，共變異數矩陣等於樣本共變異數矩陣。更複雜的假設可能是變異數和相關性是隨時間變化的，或者存在肥尾。對於金融時間序列，這些可能很重要。 模擬 $ \widetilde{Y}{t+1} $ , 你因此得到 $ \widetilde{\varepsilon}{t+1} $ 通過任何適當的方式併計算
$$ \widetilde{Y}{t+1} = \beta{0}+\beta_{1}Y_{t}+\widetilde{\varepsilon}_{t+1} $$ 為了 $ i>1 $ ，需要小心地結合上一時期的模擬值，以便
$$ \widetilde{Y}{t+i} = \beta{0}+\beta_{1}\widetilde{Y}{t+i-1}+\widetilde{\varepsilon}{t+i} $$為了確保每個模擬路徑中的自回歸特徵。 計算模擬值後 $ \widetilde{Y}{t+i} $ ，人們想通過計算將它們轉換回價格 $ \widetilde{P}{t+i}\equiv \mathrm{exp}\left(\widetilde{Y}_{t+i}\right) $ .
構造協整時間序列的一種方法是使用糾錯表示（有關等價的詳細資訊，請參見Engle，Granger 1987）。
要生成兩個協整的時間序列，請從您的協整向量開始 $ (\alpha_1, \alpha_2) $ 所以你想要 $ \alpha_1x_t + \alpha_2y_t $ 靜止不動；選擇初始值 $ x_0, y_0 $ 和一個參數 $ \gamma\in (0,1) $ 控制該系列的協整強度。然後將每個時間步生成為：
$ x_{t+1} = x_t - \gamma (x_t + (\alpha_2/\alpha_1)y_t) + \epsilon_{1t} $
$ y_{t+1} = y_t - \gamma (y_t + (\alpha_1/\alpha_2)x_t) + \epsilon_{2t} $
對於價格序列，通常是您想要協整的累積收益。要生成價格，正如約翰在上面的評論中提到的，請按照上述程序對數價格，然後求冪。